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相关试卷

1、已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ．如图，以矩形的中心为坐标原点，分别平行于 $A B$ 、 $A D$ 的直线为 $x$ 、 $y$ 轴建立平面直角坐标系．设 $y$ 轴分别交 $A B$ 、 $D C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，点 $P$ 为平面上的动点，且直线 $P E$ 、 $P F$ 的斜率的积为 $- \frac{1}{4}$ ．

(1)、证明点 $P$ 不在矩形 $A B C D$ 的外部；

(2)、现将矩形折叠，使 $A$ 点落在线段 $D C$ 上，设折痕所在直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，
①求直线 $l$ 的方程；
②重新展平矩形 $A B C D$ ，当折痕的长最大时，求折痕被点 $P$ 的轨迹所截得的弦长．

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2、已知函数 $f (x) = sin k x \cdot {sin}^{k} x + cos k x \cdot {cos}^{k} x - {cos}^{k} 2 x$ ，其中 $k \in N^{*}$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时，求方程 $f (x) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 是偶函数，当 $k$ 取最小值时，求函数 $g (x) = \frac{f (x)}{tan x} + sin x + cos x$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 是常数函数，求 $k$ 的值．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ，三角形 $P A D$ 是正三角形， $M$ 是棱 $P C$ 的中点，设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ．

(1)、证明： $l / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、证明： $B C ⊥ D M$ ；

(3)、若二面角 $P - A D - B$ 为 $60 °$ ，求直线 $D M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{n} = n^{2} ({cos}^{2} \frac{n π}{3} - {sin}^{2} \frac{n π}{3})$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ；

(2)、求 $S_{3 n}$ ；

(3)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $b_{n} = \frac{S_{3 n}}{n \cdot 2^{n - 1}}$ ，证明： $T_{n} < 22$ ．

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 3 a (a - 4) x + 2025$ ， $g (x) = e^{x} f (x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $y = g (x)$ 和 $y = e^{x}$ 的图象在公共点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的切线相同，证明：函数 $y = f (x)$ 的图象在 $(x_{0}, y_{0})$ 处的切线平行于 $x$ 轴．

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6、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形， $S A ⊥ A B$ ， $S B = S C$ ，若 $S A + A B = 1$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 外接球体积的最小值为．

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7、 ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为.

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $\{x |x \in R$ 且 $x \neq 0\}$ ， $f (x y) = y^{2} f (x) + x^{2} f (y)$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (2) = 8 f (\sqrt{2})$ C、 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点 D、 $f (x)$ 是偶函数

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = a_{2} = 4$ ，且 $\forall n \geq 2, n \in N^{*}$ 都有 $4 (S_{n} - S_{n - 1}) = S_{n + 1}$ ，则（）

A、数列 $\{S_{n}\}$ 是等比数列 B、数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 C、 $a_{6} = 32$ D、数列 $\{{log}_{2} a_{n}\}$ 的前10项和为56

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10、针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”进行调查，调查样本中女生人数是男生人数的 $\frac{1}{2}$ ，男生追星人数占男生人数的 $\frac{1}{6}$ ，女生追星的人数占女生人数的 $\frac{2}{3}$ ．若根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，可以推断追星和性别有关，则调查样本中男生人数可以是（）
（参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，临界值 $x_{0.05} = 3.841$ ）

A、10 B、11 C、12 D、18

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11、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + a x, x \leq 1 \\ a x - 1, x > 1 \end{array}$ 有两个极值点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $cos A = \frac{4}{5}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a = \frac{7}{5}$ B、 $C$ 是钝角 C、 $c = \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{5}$ D、 $S = \frac{36 + 9 \sqrt{3}}{25}$

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13、若 $a > b > 1$ ， $0 < c < 1$ ，则

A、 $a^{c} < b^{c}$ B、 $a b^{c} < b a^{c}$ C、 $a \log_{b} c < b \log_{a} c$ D、 $\log_{a} c < \log_{b} c$

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14、设平面 $α$ 与长方体的六个面的夹角分别为 $θ_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 6)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{6} {cos}^{2} θ_{i}$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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15、某学校有 $A$ 、 $B$ 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去 $A$ 餐厅，那么第2天去 $A$ 餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去 $A$ 餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（）

A、0.7 B、0.6 C、0.5 D、0.4

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16、在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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17、设复数 $z = \sqrt{2} i$ ， $i$ 是虚数单位，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、2

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18、若连续函数 $f (x)$ 满足 $f^{″} (x) + f (x) = 0$ 在定义域内恒成立，则称 $f (x)$ 为“T函数”.

(1)、判断以下函数是否为“T函数”，请说明理由.
（ⅰ） $y = 1$ ；
（ⅱ） $y = e^{x}$ ；
（ⅲ） $y = \sin x$ .

(2)、若非常值函数 $f (x)$ 存在二阶导数，证明： $f (x)$ 为“T函数”的充要条件是 $y = {(f (x))}^{2} + {(f^{'} (x))}^{2}$ 为常值函数.

(3)、已知非常值函数 $f (x)$ 为“T函数”，且 $f (0) = f^{'} (0) = 1$ .记 $[x]$ 为不超过x的最大整数，讨论函数 $y = \frac{[f (x)]}{x}$ 在区间 $(0, π)$ 上的单调性.

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19、在一个不透明的袋子中放有n个除颜色外完全相同的小球，其中有m个红色球与 $(n - m)$ 个白色球（满足 $m < n$ 且n， $m \in N^{*}$ ）.现设计如下试验流程：每次从袋中随机摸取一球，若为红色球则定义为“成功”事件，每次“成功”后将对应红球永久移除；若抽取为白色球则将其放回袋中并重新摇匀，试验持续至袋中无红色球时终止.

(1)、当 $n = 5$ ， $m = 2$ 时，求前两次摸取过程中恰发生一次“成功”事件的概率；

(2)、设 $p = \frac{m}{n}$ ，若第X次摸取时试验首次出现“成功”事件，记随机变量X的数学期望为 $E (X)$ ，试比较 $E (X)$ 与 $\frac{1}{p}$ 的大小；

(3)、基于随机变量可加性原理 $E (Y_{1} + Y_{2}) = E (Y_{1}) + E (Y_{2})$ ，当 $n = 10$ ， $m = 4$ 时，设试验终止时的累计抽取次数为 $ξ$ .证明： $E (ξ) \leq \frac{33}{2}$ .

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20、如图，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段 $A D$ 的中点，点O为坐标原点.直线 $x = 2$ 与直线 $O E$ 相交于点M.已知 $△ D A F_{2}$ 面积有最大值为 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ .

(1)、当点M坐标为 $(2, - 2)$ 时，求 $|A D|$ ；

(2)、证明： $M F_{2} ⊥ A D$ .

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