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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 b = c + 2 a \cos C$ .

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为9，面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求a.

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2、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n + 1} - 3$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{S_{n}\}$ 的前n项和.

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3、设正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ ，则（）

A、 $x y$ 有最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $x^{2} + y^{2}$ 有最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{4 y}{x} + \frac{1}{y}$ 有最小值为5 D、 $\sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 2}$ 有最大值为 $2 \sqrt{2}$

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4、甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，密码被成功破译的概率是（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{12}$

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5、已知椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 有相同的焦点 $F_{1}, F_{2}, M$ 是它们的一个公共点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，若 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ ，则 $C_{2}$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{39}}{6}$

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B // D C$ ， $A B = \frac{1}{2} C D = A D = 1$ ， $M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P C = \sqrt{5}$ ， $P D = 1$ ，在线段 $P A$ 上是否存在点 $Q$ ，使得点 $Q$ 到平面 $B D M$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$ ？若存在，求出 $P Q$ 的值；若不存在，说明理由.

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7、已知实数 $x, y, z$ 满足 $e^{x} - e^{2} = e (x - 2) \neq 0, e^{y} - e^{e} = e (y - e) \neq 0$ ， $e^{z} - e^{3} = e (z - 3) \neq 0$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，则 $x, y, z$ 的大小关系是（）

A、 $x < y < z$ B、 $y < x < z$ C、 $z < x < y$ D、 $z < y < x$

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8、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (2 x - 1)$ 为偶函数，则下列一定成立的是（）

A、 $f (- 3) = 0$ B、 $f (0) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (4) = 0$

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9、已知集合 $A = {- 4, 0, 1, 2, 8}, B = \{x ∣ x^{3} = x\},$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${1, 2, 8}$ C、 ${2, 8}$ D、 ${0, 1}$

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10、已知直线 $l$ 经过点 $P (2, 1)$ 、 $Q (4, 5)$ 两点，直线 $m$ 的倾斜角是直线 $l$ 的倾斜角的2倍，则直线 $m$ 的斜率为．

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11、设函数 $f (x) = 2 x - \ln (x - a), a \in R$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ （ $a$ 为常数， $a \in R$ ）．

(1)、当 $a$ 取何值时，函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、当 $a = 1$ 时，若方程 $f (2 x) - k \cdot f (x) = 3$ 在 $x \in [0, 1]$ 上有实根，求实数 $k$ 的取值范围．

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13、函数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知函数 $f (x) = x \ln (x + a) - 2 x + 2 \ln (x + 1), g (x) = 2 \ln (x + a + 1) - 3 x$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $g (x)$ 在 $(1, g (1))$ 处的切线 $l$ 的方程；

(2)、判断 $x = 0$ 是否是函数 $f (x)$ 的极值点，并说明理由；

(3)、若不等式 $f (x) > g (x) + k (x - 2)$ 对任意的 $x \in (2, + \infty)$ ， $a \in [0, 2]$ 恒成立，求正整数 $k$ 的最大值．（参考数据： $e = 2.71828 \dots, e^{2} = 7.38906 \dots, e^{3} = 20.08554 \dots$ ）．

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过点 $Q (2, 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点．当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $|A B| = 4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的解析式；

(2)、若 $\cos ∠ A O B = - \frac{\sqrt{13}}{13}$ ，过 $x$ 轴上一点 $P$ 作直线 $O A, O B, A B$ 的垂线，垂足分别为 $E, F, G$ ，且满足 $E,$ $F, G$ 三点共线．
（i）求直线 $l$ 的方程；
（ii）求 $P$ 点的坐标．

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16、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (1, 0)$ ，定义点 $A_{n} (1 + \frac{1}{a_{n}}, 1), B_{n} (n, 1)$ （其中 $n \in N_{+}$ ），记 $a_{n} = ∠ A_{n} O P, β_{n} = ∠ B_{n} O P$ ．
（i）求 $\tan (β_{2} + β_{3})$ 的值；
（ii）证明： $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} + β_{n + 1} = \frac{π}{4}$ ．

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D, B C ⊥ A B,$ $A B = 1 + \sqrt{3}, C D = \sqrt{3}, B C = P B = 2$ ，且四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3} + 1}{3}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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18、某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，

(1)、求图中 $a$ 的值和样本成绩的中位数；

(2)、已知学校用分层抽样的方法，从 $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在 $[90,100]$ 内的有 $X$ 人，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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19、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作直线交双曲线 $C$ 的右半支于 $P, Q$ 两点，满足 $P F_{1} ⊥ P Q$ ，且 $△ Q F_{1} F_{2}$ 面积是 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的两倍，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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20、用1，2，3， $12$ 四个数组成一个五位数（每个数仅用到1次），则能组成个不同的五位数．

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