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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} (3 - a) x + 2, x \geq 2 \\ a^{x}, x < 2 \end{cases}$ ，则“ $1 < a < 3$ ”是“ $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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2、我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值 $θ$ 称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画 $B C$ ，最高点为 $B$ ，最低点为 $C$ ，观察点 $A$ 所在的水平线与壁画的竖直线交点为 $O$ ，在点 $A$ 处观察点 $B$ ，仰角为 $45 °$ ，然后面对壁画前进 $6 m$ 处的点 $D$ 观察点 $B$ ，其仰角的正切值为7．

(1)、求壁画最高点 $B$ 与点 $O$ 的距离；

(2)、若在 $A$ ， $D$ 两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等．
①求壁画最低点 $C$ 与点 $O$ 的距离；
②在观察水平线 $A O$ 上，应处在距离点 $O$ 多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？

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3、如图1，在 $△ P A B$ 中， $P A ⊥ A B$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ ， $C$ 分别是 $P A$ ， $P B$ 的中点，现将 $△ P D C$ 沿 $D C$ 逆时针翻折形成四棱锥 $P^{'} - A B C D$ （如图2），且 $P^{'} A = \sqrt{3}$ ，直线 $P^{'} C$ 与平面 $P^{'} A D$ 所成的角为 $45 °$ ．

(1)、求证：平面 $P^{'} A B ⊥$ 平面 $P^{'} A D$ ；

(2)、求四棱锥 $P^{'} - A B C D$ 的体积；

(3)、求二面角 $C - P^{'} A - D$ 的正切值．

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4、甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{1}{3}$ ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动．

(1)、求小队猜对3个谜题的概率；

(2)、求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率．

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5、已知 $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $cos \frac{α}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $cos (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $cos (α + β) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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6、如图所示，平面 $α \cap$ 平面 $β = l$ ，平面 $α \cap$ 平面 $γ = a$ ，平面 $β \cap$ 平面 $γ = b$ ，点 $P \in$ 平面 $γ$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $α$ ， $P B ⊥$ 平面 $β$ ．

(1)、证明：直线 $l ⊥$ 直线 $A B$ ；

(2)、若直线 $l //$ 直线 $a$ ，证明：直线 $a //$ 直线 $b$ ．

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7、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $D C$ ， $A B$ 的中点，将面 $A D M N$ 沿 $M N$ 翻折形成三棱柱 $A N B - D M C$ ，使得平面 $A D M N$ 与平面 $B C M N$ 所成的角为 $60 °$ ，且 $A B < 2 \sqrt{3}$ ．则 $B M$ 与平面 $A D M N$ 所成角的正弦值为；三棱柱 $A N B - D M C$ 所在外接球的表面积为．

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $B = 60^{\circ}$ ， $a + c = 6$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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9、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 不共线， $\vec{A P} = λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{A M} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{P Q} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，若 $M$ ， $P$ ， $Q$ 三点共线，则实数 $λ$ 的值为．

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10、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为6， $P$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A D$ ， $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $B_{1} C$ 与直线 $M N$ 垂直 B、直线 $B_{1} P //$ 平面 $B M N$ C、三棱锥 $P - B M N$ 的体积为9 D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面是等腰梯形

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11、已知 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ，下列说法中正确的有（）

A、若 $z_{1} + z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、若 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ D、若 $z_{1} \notin R$ ，且 $z_{1} + \frac{1}{z_{1}} \in R$ ，则 $|z_{1}| = 1$

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12、下列选项中正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若点 $G$ 为 $△ A B C$ 中线的交点，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ C、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向且共线 D、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$

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13、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $tan α = \frac{3}{4}$ ， $cos (α + β) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $2 α + β$ 的值为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $π$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{4}$

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14、在等腰直角 $△ A B C$ 中， $C = \frac{π}{2}$ ， $A C = 2$ ，点 $M$ 为 $A B$ 上一动点，则 $\vec{C M} \cdot (\vec{C A} + \vec{C B})$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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15、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上投影向量为（）

A、 $(- 4, 2)$ B、 $(- 4 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5})$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(4 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5})$

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16、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，点 $E$ 为 $A_{1} C$ 的中点， $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A E$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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17、已知空间中不同平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，不同直线 $m$ ， $n$ ，则下列说法错误的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α // β$ B、若 $α // γ$ ， $β // γ$ ，则 $α // β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m // n$ ，则 $α // β$ D、若 $α \cap γ = m$ ， $β \cap γ = n$ ， $m // n$ ，则 $α // β$

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18、已知数据1，2，3，4，5，6，7，8，则该组数据的上四分位数是（）

A、6.5 B、6 C、2.5 D、2

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19、已知复数 $z$ 满足 $z \cdot i = (l + i)$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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20、泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为 $λ (λ > 0)$ 的泊松分布（记作 $X ~ π (λ)$ ，则其概率分布为 $P (X = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ ， $k \in N$ ，其中 $e$ 为自然对数

(1)、对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积 $λ = n p$ 大小适中，二项分布就可以近似的看作参数 $λ = n p$ 的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）；

(2)、已知 $X ~ π (λ)$ ， $λ$ 为正整数，若 $P (X = k)$ 的最大值是 $P (X = 4)$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、若 $X ~ π (0.2)$ ，试比较 $P (X \leq 2)$ 与0.99的大小，并说明理由.

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