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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，对任意实数x，y都有 $|\vec{a} - x \vec{b}| \geq |\vec{a} - \vec{b}|$ ， $|\vec{a} - y \vec{c}| \geq |\vec{a} - \vec{c}|$ 成立．若 $|\vec{a}| = 2$ ，则 $\vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a})$ 的最大值是．

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2、若 $\sin α + \cos α = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan α + \frac{1}{\tan α} =$ ．

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3、在 $△ A B C$ 中，若 $a = \sqrt{2}$ ， $∠ A = \frac{π}{6}$ ， $cos C = \frac{1}{3}$ ，则 $c =$

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4、“阿基米德多面体”也称半正多面体，又多个不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称之美．如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．已知 $A B = \sqrt{2}$ ，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）

A、该半正多面体的表面积是 $12 + 4 \sqrt{3}$ B、直线 $B F$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为45° C、该半正多面体有外接球，且它的表面积为 $8 π$ D、该半正多面体有内切球，且它的表面积为 $4 π$

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5、图中的左图为等大的3个灰色正方体和15个白色正方体所组成的多面体，其可以切割为①、②和③三个小多面体，则③代表的多面体可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足： $L = 5 + \lg V$ ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据为（）（ $\sqrt[5]{10} \approx 1.585$ ）

A、 $1.0$ B、 $0.8$ C、 $0.6$ D、 $0.5$

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7、若复数z满足 $z (1 - 2 i) = 3 + 4 i$ （其中i为虚数单位），则z的虚部是（）

A、2i B、 $- 2 i$ C、2 D、 $- 2$

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8、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x ||x - 1 | \leq 1\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$

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9、已知如图是函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的部分图象，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{3 π}{2}, 0)$ 中心对称 B、 $f (x)$ 在 $(- 1, 2)$ 单调递增 C、 $f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} x + 1$ D、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度后为偶函数

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10、若不等式 $(3^{x + 2 a} - 9) (x - b) \geq 0$ 在 $x \in R$ 上恒成立，且 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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11、设 $\{a_{n}\}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是1为首项，2为公比的等比数列，记 $M_{n} = a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + \dots + a_{b_{n}}$ ，则 $\{M_{n}\}$ 中不超过2025的项的个数为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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12、已知函数 $f (x) = \log_{2} x^{3} \cdot \log_{2} \frac{16}{x}$

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - x - \frac{16}{x} .$
（i）证明： $g (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且. $x_{1} x_{2} = 16$ ；
（ii）若关于x的方程 $g (\frac{8 x}{x^{2} + 1}) - g (a x + a + 4) = 0 (a \geq 0)$ 的解集中只含有一个元素，求a的取值范围.

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13、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD为等腰梯形， $A B / / C D$ ， $A D = D C = 1$ ， $A B = 2$ ， $A C ⊥ P C$ ．

(1)、证明：平面 $A B C D ⊥$ 平面PBC．

(2)、若 $P B ⊥ B C$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ，求点D到平面PBC的距离．

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14、若函数 $f (x) = lg (x^{2} - 2 a x)$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的最大值是．

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15、如图所示，点M，N是函数f（x）=2cos $(ω x + φ)$ （ $ω$ >0， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若M（－1，0），且当△MPN的面积最大时，PM⊥PN，则（）

A、f（0）= $\sqrt{2}$ B、 $ω$ + $φ$ = $\frac{π}{2}$ C、f（x）的单调增区间为[－1+8k，1+8k]（k∈Z） D、f（x）的图象关于直线x=5对称

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16、下列说法正确的是（）

A、用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B、数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的平均数为90，方差为3；数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{15}$ 的平均数为85，方差为5，则 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{15}$ 的平均数为87，方差为10.2 C、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的极差为6，方差为2，则数据 $2 x_{1} + 1 ， 2 x_{2} + 1 ， \dots ， 2 x_{10} + 1$ 的极差和方差分别为12，9 D、数据 $13, 27, 24, 12, 14, 30, 15, 17, 19, 23$ 的上四分位数是24

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17、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 R ，且 $f (x) + g (1 - x) = 3$ ， $g (x) + f (x - 3) = 3$ ，若 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称，则（）

A、 $f (- x) = - f (x)$ B、 $g (- x) = - g (x)$ C、 $\sum_{i = 1}^{2025} f (i) = 6066$ D、 $\sum_{i = 1}^{2024} g (i) = 0$

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18、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是 $A B$ 上一点， $Q$ 是 $B C$ 的中点， $A Q$ 与 $C P$ 的交点为 $M$ 有下列四个命题：
甲： $\overset{⃑}{C P} = \frac{2}{3} \overset{⃑}{C A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{C B}$              乙： $\overset{⃑}{C M} = 3 \overset{⃑}{M P}$
丙： $S_{△ A C P} : S_{△ A B C} = 1 : 3$        丁： $\overset{⃑}{A M} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{M Q}$
如果只有一个假命题，则该命题为（       ）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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19、设m，n是不同的直线， $a, β$ 是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、 $m ⊥ n, n / / α$ ，则 $m ⊥ α$ B、 $m / / β, β ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ C、 $m ⊥ α, α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ D、 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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20、对于给定的正整数 $n$ ，如果正整数 $d$ 能整除 $n$ ，则称 $d$ 是 $n$ 的因子；如果正整数 $m$ ， $n$ 共同的因子只有1，则称正整数 $m$ 和 $n$ 互素.已知函数 $f (n)$ 表示正整数 $n$ 的因子个数，数列 $\{a_{n}\}$ 满足以下条件：
①对于任意素数 $p$ 和正整数 $n$ ，都有 $a_{p^{n}} = n + 1$ ；
②对于任意的正整数 $m$ 和 $n$ ，若 $m$ 和 $n$ 互素，则 $a_{m n} = a_{m} \cdot a_{n}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2024}$ 的值，并写出 $a_{n}$ 和 $f (n)$ 的关系（无需证明）；

(2)、当 $n$ 是偶数时，证明： $a_{n} \leq \frac{n}{2} + 1$ ；

(3)、设数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{5}{3}$ .

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