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相关试卷

1、如图，P为 $△ A B C$ 的内心， $\cos ∠ B A C = \frac{1}{5}$ ， $△ B P C$ 、 $△ A P C$ 、 $△ A P B$ 的面积分别为 $S_{A}$ 、 $S_{B}$ 、 $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{P A} + S_{B} \cdot \vec{P B} + S_{C} \cdot \vec{P C} = \vec{0}$ .若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + y$ 的最大值为.

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2、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，M，N分别为棱 $B B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交 $B_{1} C_{1}$ 于E点，且 $B_{1} E = 2$ ，则 $B_{1} C_{1} =$ .

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3、在复数范围内，方程 $4 x^{2} + 9 = 0$ 的解 $x =$ .

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4、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P为底面 $A B C D$ 内一动点，则下列说法正确的是（）

A、当P为正方形 $A B C D$ 的中心时，三棱锥 $P - B_{1} C D_{1}$ 外接球的表面积为 $11 π$ B、当P在线段 $B D$ 上时， $|A P| + |P B_{1}|$ 的最小值为4 C、满足直线 $P C_{1}$ 与上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角为60°的点P的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ D、当P为 $C D$ 中点时，过A，P， $C_{1}$ 三点作正方体的截面Ω，Q为截面Ω上一点，则线段 $B Q$ 长度的取值范围为 $[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, 2 \sqrt{2}]$

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5、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = \frac{π}{2}$ B、若函数 $y = f (a x) (a > 0)$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增，则 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1, 0)$ 中心对称 D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = - \frac{2}{3}$ ，则 $\cos [\frac{π}{4} (x_{2} - x_{1})] = \frac{1}{3}$

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6、若 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $2 \vec{a}$

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7、任意复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 可以写成 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ ，其中r是复数z的模， $θ$ 是复数z的辐角（以x轴的非负半轴为始边，向量 $\vec{O Z}$ 所在射线为终边的角），我们称 $r (\cos θ + i \sin θ)$ 为复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 的三角形式.利用复数的三角形式可进行复数的乘方等运算，即 $z^{n} = r^{n} (\cos n θ + isin n θ)$ ， $(n \in Z)$ .已知复数 $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ ，则 $z, z^{2}, z^{3}, \cdot \cdot \cdot, z^{2025}$ 中不同的数的个数为（）

A、6 B、12 C、24 D、36

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8、已知 $\frac{1 - \cos 2 θ + \sin 2 θ}{1 + \cos 2 θ + \sin 2 θ} = 3$ ，则 $\tan 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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9、已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（）

A、 $9 \sqrt{3} π$ B、 $10 \sqrt{3} π$ C、 $15 π$ D、 $18 π$

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10、将函数 $y = \sin (x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到 $y = f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{12})$ B、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{12})$ C、 $f (x) = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{24})$ D、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$

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11、已知复数 $z = m^{2} - 2 m - 3 + (m - 3) i (m \in R)$ 是纯虚数，则 $|1 + z|$ 为（）

A、 $\sqrt{15}$ B、4 C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{19}$

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12、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是同一平面内两个不共线的向量，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 的是（）

A、 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = - \vec{e_{1}} + \frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ D、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $b = 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$

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13、下列函数中，最小正周期为 $π$ 的奇函数是（）

A、 $y = 2 \sin x$ B、 $y = \sin 2 x$ C、 $y = \sin \frac{x}{2}$ D、 $y = |\sin x|$

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14、复数 $(2 - i) i$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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15、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x) + \ln 2 \cdot f (x) = \frac{x^{2}}{2^{x}}$ ， $f (1) = \frac{1}{6}$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 只有最大值，没有最小值 B、 $f (x)$ 只有最小值，没有最大值 C、 $f (x)$ 有两个零点 D、 $f (x)$ 只有一个极值点

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16、不等式 $\frac{x - 4}{x - 1} \geq 2$ 的解集是（）

A、 ${x ∣ - 2 \leq x \leq 1}$ B、 ${x ∣ x \leq - 2}$ C、 ${x ∣ - 2 \leq x < 1}$ D、 ${x ∣ x > 1}$

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，动点P满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ （ $x \geq 0$ ， $y \geq 0$ ， $z \geq 0$ ），下列说法正确的是（）

A、当 $x = y = z = \frac{1}{3}$ 时， $A P ⊥ 面 A_{1} B D$ B、当 $x = 1$ ， $y = 1$ ， $z \in [0, 1]$ 时，则P到平面 $A_{1} B D$ 的距离的最小值是 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、当 $x + y = 1$ ， $z = 0$ 时， $|B_{1} P| + |P A|$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ D、当 $x + y + z = 1$ ，且 $|A P| = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，则P的轨迹总长度为 $\frac{\sqrt{3}}{6} π$

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18、若 $a > b > 0$ ， $c > d$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a - b < 0$ B、 $a c > b d$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$

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19、牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设 $r$ 是 $f (x) = 0$ 的根，选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $L$ ， $L$ 的方程为 $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ ．如果 $f^{'} (x_{0}) \neq 0$ ，则 $L$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标记为 $x_{1}$ ，称 $x_{1}$ 为 $r$ 的一阶近似值．再过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，并求出切线与 $x$ 轴的交点横坐标记为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的二阶近似值．重复以上过程，得 $r$ 的近似值序列： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，根据已有精确度 $ε$ ，当 $|x_{n} - r| < ε$ 时，给出近似解．对于函数 $f (x) = x + e^{x}$ ，已知 $f (r) = 0$ ．

(1)、若给定 $x_{0} = 0$ ，求 $r$ 的二阶近似值 $x_{2}$ ；

(2)、函数 $h (x) = x (\ln x - 1) - \ln x + e^{x} - e^{- x}$ ．
①试写出函数 $h (x)$ 的最小值 $m$ 与 $r$ 的关系式；
②证明： $m > e - 2$ ．

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20、甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为 $\frac{1}{5}$ ，设第 $i$ 天甲挑战的概率为 $p_{i}$ ．

(1)、求 $p_{2}$ ， $p_{3}$ ；

(2)、求证数列 $\{p_{i} - \frac{5}{6}\}$ 为等比数列，并求 $p_{i}$ ；

(3)、若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i}$ ， $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ，则 $E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} q_{i}$ ．记前 $n$ 天（即从第1天到第 $n$ 天）中甲挑战的天数为 $Y$ ，求 $E (Y)$ ．

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