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相关试卷

1、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{100} =$ ．

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2、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点， $O$ 是坐标原点．过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．若 $|P F_{1}| = \sqrt{6} |O P|$ ，则 $C$ 的离心率为

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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3、已知圆心为C的圆经过 $A (1, - 5)$ ， $B (0, 2)$ 两点，且点C在直线 $x - y + 1 = 0$ 上，则此圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

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4、已知两点 $A (3, 2)$ 和 $B (- 1, 4)$ 到直线 $m x + y + 3 = 0$ 距离相等，则 $m$ 值为（）

A、 $0$ 或 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ 或 $- 6$ C、 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$ D、 $0$ 或 $\frac{1}{2}$

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5、如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别在空间直角坐标系 $O - x y z$ 的三条坐标轴上， $\vec{O C} = (0, 0, 2)$ ，平面 $A B C$ 的法向量为 $\vec{n} = (2, 1, 2)$ ，设二面角 $C - A B - O$ 的大小为θ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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6、已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - k x^{2}$ ， $k \in R$ .若点 $A$ 在函数 $y = f (x)$ 的图像上，且经过点 $A$ 的切线与函数 $y = f (x)$ 图像的另一个交点为点 $B$ ，则称点 $B$ 为点 $A$ 的一个“上位点”，现有函数 $y = f (x)$ 图像上的点列 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， …， $M_{n}$ ， …，使得对任意正整数 $n$ ，点 $M_{n}$ 都是点 $M_{n + 1}$ 的一个“上位点”.

(1)、若 $k = 0$ ，请判断原点 $O$ 是否存在“上位点”，并说明理由；

(2)、若点 $M_{1}$ 的坐标为 $(3 k, 0)$ ，请分别求出点 $M_{2}$ 、 $M_{3}$ 的坐标；

(3)、若 $M_{1}$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，记点 $M_{n}$ 到直线 $y = m$ 的距离为 $d_{n}$ .问是否存在实数 $m$ 和正整数 $T$ ，使得无穷数列 $d_{T}$ 、 $d_{T + 1}$ 、…、 $d_{T + n}$ …严格减？若存在，求出实数 $m$ 的所有可能值；若不存在，请说明理由.

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7、用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为 $75 \sqrt{3} m^{2}$ 的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底 $A D$ ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成 $60 °$ ，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．

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8、（1）在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ，且 $B = \frac{π}{6}$ .求角A，C的大小；
（2）在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 4, b + c = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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9、已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为 $X$ ．

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、求 $E (X)$ 和 $D (X)$ ；

(3)、求计算机网络不会断掉的概率．

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10、已知函数 $f (x) = b \cdot a^{x}$ （其中 $a$ ， $b$ 为常量，且 $a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $b \neq 0$ ）的图象经过点 $A (1, 10)$ ， $B (2, 50)$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值 $;$

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $b^{x} - {(\frac{1}{a})}^{x} \geq m + 3$ 在 $[- 2, 2]$ 上有解，求 $m$ 的取值范围．

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11、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x - 1)$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = 1 - |x|$ ，则（）

A、 $f (2025) = 0$ B、 $f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上单调递增 C、 $y = f (x - 5)$ 为奇函数 D、方程 $f (x) = lg x$ 仅有5个不同实数解

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12、如果数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式可以为（）

A、 $a_{n} = \frac{n + 1}{2 n - 1}$ B、 $a_{n} = 2 n - 1$ C、 $a_{n} = 2 n^{2} - 5 n$ D、 $a_{n} = 2^{n} - 1$

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13、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + 1)$ 是奇函数，当 $x > 1$ 时， $f (x) = \{\begin{cases} 2 - x, 1 < x \leq 2 \\ x^{2} - 4 x + 4, x > 2 \end{cases}$ ，函数 $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ ，则方程 $f (x) = g (x)$ 的所有的根之和为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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14、函数 $y = (\sin x) \ln \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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15、将有穷数列 $\{a_{n}\} (n \geq 3)$ 任两项之和按升序排列成一个新数列，称这个新数列为 $\{a_{n}\}$ 的伴随数列．若 $\{a_{n}\}$ 的伴随数列是公差不为0的等差数列，称 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．

(1)、判断数列1，2，3和数列1，3，5，7是否具有性质 $P$ ；

(2)、若递增数列1，3， $x$ ， $y$ （ $x$ ， $y \in N^{*}$ ）具有性质 $P$ ，求 $x$ 和 $y$ 的值；

(3)、若有穷数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ ，求 $n$ 的最大值．

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16、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $(3, \sqrt{2})$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为直线l： $x + y = 1$ 上且不在x轴上的一点，直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点．

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、设直线 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．
（i）证明： $\frac{1}{k_{1}} + \frac{3}{k_{2}}$ 为定值；
（ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足 $k_{O A} + k_{O B} + k_{O C} + k_{O D} = 0$ ？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

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17、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B ⊥ A D$ ， $A C ⊥ C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A = A B = B C$ ， $E$ 为 $P C$ 中点．

(1)、证明： $C D ⊥ A E$ ；

(2)、证明： $P D ⊥$ 平面ABE；

(3)、求二面角 $A - B E - C$ 的余弦值．

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18、已知直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 与抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于M，N两点， $|M N| = 8 \sqrt{15}$ ， O为坐标原点．

(1)、求p；

(2)、过点 $P (3, 2)$ 作直线l交抛物线 $C_{1}$ 于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积．

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19、设 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ．已知 $a_{1}$ ， $3 a_{2}$ ， $9 a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $T_{n}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，证明： $T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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20、已知动圆P与圆 $F_{1}$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 81$ 相切，且与圆 $F_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为．

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