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相关试卷

1、已知复数 $z = \frac{2 - i}{1 + 3 i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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2、若复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{|z|} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$

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3、已知 $f (x) = \ln x - x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = f (x) + x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = e^{n}$ （ $e$ 为自然对数底数），记 $b_{n} = g (a_{n})$ ， $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} b_{2 i - 1}$ （i， $n \in N^{*}$ ）， $T_{n} = \sum_{j = 1}^{n} b_{2 j}$ （j， $n \in N^{*}$ ），证明：当 $n \geq 3$ 时， $e n^{2} + S_{n} > e T_{n}$ ；

(3)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $0 < c_{1} < 1$ ， $c_{n + 1} = g (c_{n})$ ， $n \in N^{*}$ ，证明：对任意的 $n \in N^{*}$ ， $f (\frac{c_{n + 1} - c_{n + 2}}{c_{n + 2} - c_{n + 3}}) < 0$ .

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4、一个不透明的袋子中有n（ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ）个材质、大小完全相同的小球，袋中小球分别编号为1，2，3，…，n.从袋中任意取两个小球，记这两个小球编号的差的绝对值为X，记这两个小球编号中的最大编号为Y.

(1)、当 $n = 6$ 时，
（ⅰ）求 $Y = X + 1$ 的概率；
（ⅱ）求 $E (X)$ ；

(2)、证明： $E (Y) = 2 E (X)$ .
参考公式： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ .

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5、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为 $2$ ，点 $D$ 为线段 $A B$ 上靠近点 $A$ 的三等分点，点 $E$ 、 $F$ 、 $H$ 分别为 $A C$ 、 $C C_{1}$ 、 $B_{1} D$ 的中点.

(1)、求证： $D E //$ 平面 $B F H$ ；

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $B F H$ 所成角的正弦值.

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6、已知点 $A (2, 3)$ ， $B (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1)$ 为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）上两点.

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若 $P (0, \sqrt{3})$ ，直线l： $y = k x + m$ （ $k m \neq 0$ ）与C交于M，N两点，且 $|P M| = |P N|$ ，求实数m的取值范围.

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7、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = b (\cos C + \sin C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{10}$ ， $a + c = 2 + 3 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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8、已知正数a，b，c，d互不相等，若数据a，b，c的方差和数据b，c，d的方差相等，则 $\frac{4 a + 4 d}{a + b + d} + \frac{9 b + 9 c}{a + d + c}$ 的最小值为.

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9、已知函数 $f (x) = {(x - 2)}^{2} (x - 3)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为.

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10、 ${(x^{3} - \frac{2}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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11、已知点 $M (3, 0)$ ， $N (- 3, 0)$ ， $P$ ， $Q$ 是坐标平面上的两个动点，设满足 $|P M| \cdot |P N| = t (t > 0)$ 的点 $P$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ ，满足 $|Q M| + |Q N| = 8$ 的点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C_{2}$ ，则（）

A、 $C_{1}, C_{2}$ 均关于 $x$ 轴对称 B、 $△ Q M N$ 面积的最大值为 $3 \sqrt{3}$ C、当 $t = 10$ 时，点 $P$ 的纵坐标的最大值大于1 D、当 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 有公共点时， $7 \leq t \leq 16$

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12、将曲线 $y = \sin x + 1$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到曲线 $y = f (x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{4}, 0)$ 对称

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13、我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动.某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且 $X ~ N (100, σ_{1}^{2})$ ， $Y ~ N (105, σ_{2}^{2})$ ， $0 < σ_{1} < σ_{2}$ .科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（）

A、 $P (X < 100) < P (Y > 105)$ B、X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高” C、混动类部件优质品率高于其不合格品率 D、纯电类部件优质品率高于其不合格品率

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14、若 $\forall x_{1}$ 、 $x_{2} \in (0, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ 都有 $\frac{\ln x_{2} - \ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}} > \frac{a}{2} - \frac{1}{6} (x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2})$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $(- \infty, 4]$ D、 $(- \infty, 8]$

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15、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $|\vec{A C}| = 2$ ， $|\vec{C D}| = \sqrt{3}$ ， $∠ A C D = 30^{\circ}$ ， $E$ 为线段 $A C$ 的中点， $\vec{D E} = 2 \vec{E B}$ ，则 $\vec{D A} \cdot \vec{D B} =$ （）

A、3 B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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16、已知 $α$ 为第一象限角， $\frac{\tan α}{\tan (α - \frac{π}{4})} = - \frac{3}{2}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{4})$ 的值是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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17、已知前n项和为 $S_{n}$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $- 3$ ， $S_{3} = - 9$ ，则 $a_{4}$ 的所有可能取值之和为（）

A、21 B、20 C、18 D、16

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18、若函数 $f (x) = a^{\sqrt{a x - 3}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在区间 $(4, 6)$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{4}, 1)$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ D、 $[\frac{1}{2}, 1)$

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19、已知 $(3 - i) (1 - a i)$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 3$

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20、已知集合 $M = \{x ∣ x^{2} - 6 x - 7 < 0\}$ ， $N = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{- 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 2, 1, 2, 3\}$

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