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相关试卷

1、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，与向量 $\vec{A D_{1}}$ 相反的向量是（）

A、 $\vec{C_{1} B}$ B、 $\vec{B C_{1}}$ C、 $\vec{B_{1} A}$ D、 $\vec{A B_{1}}$

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2、直线 $x - y - 5 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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3、若数列 $\{a_{n}\} (1 \leq n \leq k, n \in N^{*}, k \in N^{*})$ 满足 $a_{n} \in \{0, 1\}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为 $k$ 项 $0 - 1$ 数列，由所有 $k$ 项 $0 - 1$ 数列组成的集合为 $M_{k}$ ．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 是 $20$ 项 $0 - 1$ 数列，当且仅当 $n = 4 m (m \in N^{*}, m \leq 5)$ 时， $a_{n} = 0$ ，求数列 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 的所有项的和；

(2)、已知 $\{a_{n}\} \in M_{k}$ ， $\{b_{n}\} \in M_{k}$ 且 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 是两个不同的数列，定义离散型随机变量 $X = \sum_{i = 1}^{k} |a_{i} - b_{i}| (i = 1, 2, \dots, k)$ 其中 $k \in N^{*}$ ，且 $k \geq 3$ ．
（ⅰ）求 $P (X = 3)$ 取到最大值时 $k$ 的值；
（ⅱ）求随机变量 $X$ 的分布列，并证明：当 $k = 4050$ 时， $E (X) > 2025$ ．

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为 $Γ : x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ．已知椭圆 $C$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0), F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ， $O$ 为坐标原点，点 $E (- \sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求 $△ O A B$ 面积的取值范围；

(3)、过 $C$ 的蒙日圆上一点 $M$ ，作 $C$ 的一条切线，与蒙日圆交于另一点 $N$ ，若直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率存在，设 $O M$ 与 $O N$ 的斜率分别为 $k_{O M} ， k_{O N}$ ，证明： $k_{O M} \cdot k_{O N}$ 为定值．

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5、已知函数 $f (x) = x e^{x} ， g (x) = - \frac{a}{2} x^{2} - a x (a \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、若 $h (x) = f (x) + g (x) ， x \in R$ ．
（ⅰ）讨论 $h (x)$ 的单调性；
（ⅱ）当 $0 < a < \frac{1}{e}$ 时，设 $h (x)$ 的极大值是 $σ (a)$ ，求证： $σ (a) \geq - \frac{2}{e^{2}}$ ．

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D / / B C$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A C$ ， $B C = 2 A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $A C P$ ；

(2)、若三棱锥 $D - A C P$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求平面 $A C P$ 与平面 $C D P$ 夹角的余弦值．

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7、已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $\sqrt{3} cos C + sin C = \frac{\sqrt{3} b}{a}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 ， B C$ 边上的高为1，求 $△ A B C$ 的周长．

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8、如图，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字 $n (n = 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 9)$ 的不同路线条数记为 $r_{n}$ ，从1移动到9的事件中（每条移动路线都是等可能的），经过数字 $n (n = 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 8)$ 的概率记为 $P_{n}$ ，则 $r_{5} =$ ， $P_{6} =$ ．

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9、已知曲线 $y = x + ln x$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线与曲线 $y = e^{a x} - 1$ 相切，则 $a$ 的值为．

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10、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = 0.26$ ，则 $P (2 \leq X \leq 4) =$ ．

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11、用半径为 $R$ 的圆形铁皮剪出圆心角为 $θ$ 的扇形（以圆形铁皮的半径为半径的扇形），制成一个圆锥形容器 $S O$ ，底面圆 $O$ 的半径为 $r$ ．则下列说法正确的是（）

A、当 $r = \frac{3}{2}$ ，且圆锥 $S O$ 的侧面积为 $3 π$ 时，圆锥的体积 $V = \frac{3 \sqrt{7} π}{8}$ B、当 $r = \frac{3}{2}$ ，且圆锥 $S O$ 的侧面积为 $3 π$ 时，过圆锥 $S O$ 的顶点 $S$ 所作的截面中，截面面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ C、当 $R = 3$ ，且圆锥 $S O$ 的侧面积为 $3 π$ 时，圆锥 $S O$ 能在棱长为 $4$ 的正四面体内任意转动 D、当 $θ = \frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ 时，圆锥 $S O$ 的体积最大

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12、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ ，其左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、 $E$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ B、当 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ 时， $|A B| = \frac{16 \sqrt{3}}{5}$ C、直线 $l$ 的斜率可以为 $\sqrt{2}$ D、 $E$ 上存在点 $M$ ，使 $∠ M F_{2} F_{1} = 3 ∠ M F_{1} F_{2} \neq 0$

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13、已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 30$ ， $a_{6} = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $d = - 1$ B、 $a_{3} = 6$ C、 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是递减数列 D、若 $S_{n} > 0$ ，则 $n$ 的最大值是 $11$

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14、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y > 0$ ，总有 $f (x y) < f (x) + f (y) + 1$ 成立，且当 $x > 1$ 时， $f (x) < - 1$ ．设 $a = f (\frac{2}{ln 2}), b = f (\frac{3}{ln 3}), c = f (e) (e \approx 2.718 \cdot \cdot \cdot)$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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15、某次马拉松比赛活动中，甲，乙，丙，丁四位志愿者派往 $A ， B ， C$ 三个物资发放点，若每个物资发放点至少派一位志愿者，且每位志愿者只能派往一个物资发放点，则在甲被派去 $B$ 物资发放点的条件下，甲，乙被派去同一个物资发放点的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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16、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{4}) (0 < ω < 3) ， x = \frac{π}{8}$ 是 $f (x)$ 的一个零点，则当 $x \in (- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 时， $y = f (x) + f (x + \frac{π}{4})$ 的值域为（）

A、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ D、 $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}]$

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17、若命题 $p : f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ 为奇函数， $q : g (x) = x^{2} + (a^{2} - a) x + 1$ 为偶函数，则 $p$ 是 $q$ 成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知平面向量 $\vec{a} = (cos θ, 2) ， \vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $\vec{a} ∥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $sin θ =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、1

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19、若抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的准线为直线 $l$ ，且 $l$ 交圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则 $∠ A O B =$ （）

A、 $\frac{5π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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20、已知 $z = (1 + 3 i) (3 - i)$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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