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相关试卷

1、把一个铁制的底面半径为 $4$ ，侧面积为 $\frac{16}{3} π$ 的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{6}$

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2、已知曲线 $E : y = x^{2}$ （ $0 \leq x \leq 1$ ）上一点 $P (t, t^{2})$ （ $0 < t < 1$ ）处的切线 $l$ 分别交直线 $y = 0$ ，直线 $x = 1$ 于点 $A$ ， $B$ ，记点 $O (0, 0)$ ， $C (1, 0)$ ， $D (1, 1)$ .

(1)、设 $△ P A C$ ， $△ P B C$ 的面积分别为 $f (t)$ ， $g (t)$ ，解不等式 $f (t) \leq g (t)$ ；

(2)、在曲线 $E$ 与线段 $O C$ ，线段 $C D$ 围成的区域 $Ω$ 内，以 $P$ 为一顶点作 $△ P Q R$ ，设所有这些三角形的面积最大值为 $h (t)$ ，求 $h (t)$ 的极值.

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3、已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，上焦点为 $(0, 2 \sqrt{5})$ ，离心率为 $\sqrt{5}$ .记 $C$ 的上、下顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，过点 $(0, 4)$ 的直线与 $C$ 的上支交于M，N两点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $A_{1} M$ 和 $A_{2} N$ 的斜率分别记为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，求 $k_{1}^{2} + \frac{2}{3} k_{2}$ 的最小值；

(3)、直线 $A_{1} M$ 与 $A_{2} N$ 交于点P，证明：点P在定直线上.

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4、人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 $\frac{1}{2}$ （先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束.

(1)、求首次试验结束的概率；

(2)、在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ， $A B = A D = A P = 2$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为4.

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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6、设正项数列 ${\{a_{n}\}}_{}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ）.

(1)、求证：数列 $\{a_{n}^{2} + \frac{1}{a_{n}^{2}}\}$ 为等差数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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7、已知 $△ A B C$ 的外接圆 $O$ 的半径为1， $∠ A$ 的平分线交圆 $O$ 于点 $D$ ， $A D = \sqrt{3}$ .当 $\cos A$ 为时， $△ A B C$ 的面积取最大值.

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8、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，点 $M$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的一个动点（含边界），点 $P$ 在棱 $C C_{1}$ 上，且 $P C_{1} = 1$ ，当 $P M$ 与 $B D_{1}$ 垂直时，点 $M$ 的运动轨迹长度为.

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9、已知曲线 $C$ ： $\frac{x | x |}{4} - y | y | = 1$ ， $P (x_{0}, y_{0})$ 为 $C$ 上一点，则（）

A、 $|x_{0}| \leq 2$ B、 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} \geq 1$ C、 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的取值范围为 $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $| x_{0} - 2 y_{0} |$ 的取值范围为 $(0, 2 \sqrt{2}]$

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10、对于一般函数 $f (x)$ ，如果存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，那么就称函数 $f (x)$ 有不动点，也称 $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的一个不动点.则（）

A、 $f (x) = 1 + \ln x$ 有1个不动点 B、 $f (x) = | 2 - \frac{1}{x} |$ 有2个不动点 C、 $f (x) = \frac{1}{3} \tan x$ 有3个不动点 D、 $f (x) = e^{x} - \frac{x^{2}}{2} - 1$ 没有不动点

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11、某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
销量（万辆）
11.7
12.4
13.8
13.2
14.6
15.3
则（）

A、销量的极差为3.6 B、销量的第60百分位数为13.2 C、销量的平均数与中位数相等 D、若销量关于月份的回归方程为 $y = 0.7 x + a$ ，则 $a = 11$

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12、已知函数 $f (x) = sin(2 x + φ)$ （ $0 < φ < π$ ）的图象的一条对称轴方程是 $x = \frac{π}{3}$ ，则（）

A、 $(\frac{π}{3}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的对称中心 B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12})$ 上有两个极值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = cos 2 x$ 向左平移 $\frac{5π}{12}$ 个单位长度得到

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13、如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（）

A、 $\frac{325 π}{12}$ B、 $\frac{76 π}{3}$ C、 $\frac{215 π}{9}$ D、 $\frac{325 π}{16}$

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14、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{2}$ ， $B = \frac{π}{6}$ ，且 $△ A B C$ 的外接圆半径为4.

(1)、若 $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A C D$ 的面积；

(2)、若 $D = \frac{2 π}{3}$ ，求 $B C - A D$ 的最大值.

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15、已知函数 $f (x) = {(sin x + cos x)}^{2} + 2 a {cos}^{2} x - a$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，
①求函数 $f (x)$ 的单调增区间；
②若 $f (x_{0}) = 2$ ，求 $tan x_{0}$ 的值.

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16、定义在R上的两个函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，已知 $f (x) + g (1 - x) = 3$ ， $g (x) + f (x - 3) = 3$ ．若 $y = g (x)$ 图象关于点 $(1, 0)$ 对称，则 $f (0) =$ ， $g (1) + g (2) + g (3) + \dots + g (1000) =$ ．

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17、已知 $i$ 是虚数单位，则 $|{(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{2022} + {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{2022}| =$ .

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18、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M$ ， $N$ ， $P$ 分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1}$ ， $B C$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C Q} = λ \vec{C C_{1}}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ，下列说法正确的是（）

A、 $P Q / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、若 $Q$ ， $M$ ， $N$ ， $P$ 四点共面，则 $λ = \frac{1}{4}$ C、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，点 $F$ 在侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内，且 $A_{1} F / /$ 平面 $A P Q$ ，则点 $F$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ D、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，由平面 $M N Q$ 分割该正方体所成的两个空间几何体为 $Ω_{1}$ 和 $Ω_{2}$ ，某球能够被整体放入 $Ω_{1}$ 或 $Ω_{2}$ ，则该球的表面积最大值为 $(10 - 6 \sqrt{3}) π$

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19、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $A = 0.5$ B、 $ω = 2$ C、 $φ = - \frac{π}{3}$ D、 $f (0) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

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20、在空间中，下列命题正确的是（）

A、若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B、若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C、若点 $A$ 既在平面 $α$ 内，又在平面 $β$ 内，且 $α$ 与 $β$ 相交于直线 $b$ ，则点 $A$ 在 $b$ 上 D、用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台

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月份	1	2	3	4	5	6
销量（万辆）	11.7	12.4	13.8	13.2	14.6	15.3