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相关试卷

1、已知集合 $A_{n} = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，如果 $A_{n}$ 中的元素 $a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} \times a_{2} \times \dots \times a_{n} - 1$ ，就 $A_{n}$ 称为“完美集”.

(1)、判断集合 $\{3 - \sqrt{2}, 3 \div \sqrt{2}\}$ 是否为“完美集”，并说明理由；

(2)、已知集合 $A_{2} = \{a_{1}, a_{2}\} (0 < a_{1} < a_{2})$ 为“完美集”，求证： $a_{2} > \sqrt{2} + 1$ ；

(3)、是否存在 $A_{n} \subseteq N^{*}$ ，且 $A_{n}$ 为“完美集”？若存在，求出所有这样的 $A_{n}$ ；若不存在，请说明理由.

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2、已知定义域是R的函数 $f (x) = a - \frac{2}{1 + 2^{x}} (a \in R)$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并予以证明；

(3)、设 $t \in (1, 3)$ ，若关于 $t$ 的不等式 $f (2 t^{2} - k t) + f (3 - t^{2}) > 0$ 有解，求实数 $k$ 的取值范围.

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3、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - b x + c > 0$ 的解集为 $M = {x| - 1 < x < 2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $\frac{b x}{a x - b} \leq 2$ 的解集为 ${x| 1 < x \leq 2}$ C、 $4 a + 2 b + c < 0$ D、函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在 $(- \infty, - \frac{1}{2}]$ 上单调递增

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4、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x + 2, x < 1 \\ \frac{a}{x}, x \geq 1 \end{array}$ 的值域为 $(0, + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）.

A、 $(0, 1]$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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5、若 $M$ 为圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 2$ 上的动点，则点 $M$ 到直线 $x + y - 3 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $3 - \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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6、某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取 $n$ 人进行调查研究.若抽到男生20人，则 $n =$ （）

A、60 B、45 C、35 D、25

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7、若一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则该圆台的侧面积为（）

A、 $\sqrt{2} π$ B、 $2 π$ C、 $2 \sqrt{2} π$ D、 $3 \sqrt{2} π$

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8、设点P为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} =$ 1上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为C的左、右焦点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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9、直线 $3 x + 4 y + 5 = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{20}$ 的极差为4，方差为2，则数据 $3 x_{1} + 5$ ， $3 x_{2} + 5$ ， …， $3 x_{20} + 5$ 的极差和方差分别是（）

A、4，2 B、4，18 C、12，2 D、12，18

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11、直线 $l : x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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12、已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（）

A、所有奇数项的二项式系数和为 $2^{12}$ B、所有项的系数和为 $3^{12}$ C、二项式系数最大的项为第6项或第7项 D、有理项共5项

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13、已知定义在R 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x - 2) + f (4 - x) = 2$ ，则 $f (1)$ =；若 $g (x) = f (x + 1) - 1$ ，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ $，$ 都有 $\frac{x_{2} g (x_{1}) - x_{1} g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ $，$ 则不等式 $g (x) < \frac{g (x^{2})}{x}$ 的解集为.

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14、已知函数 $f (x) = |2 x - a|$ 在 $(- \infty, 3)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15、有四个幂函数： $y = x^{- 1}$ ； $y = x^{\frac{1}{3}}$ ； $y = x^{3}$ ； $y = x^{- 2}$ .某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是 ${y | y \in R$ 且 $y \neq 0}$ ；③它在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（）

A、 $y = x^{- 1}$ B、 $y = x^{\frac{1}{3}}$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = x^{- 2}$

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16、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{| x | - 5}$ 的定义域为（）

A、 $[4, + \infty)$ B、 $[4, 5) \cup (5, + \infty)$ C、 $(4, 5) \cup (5, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 5) \cup (4, 5]$

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17、命题“ $\exists x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$ B、 $\exists x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 > 0$ C、 $\forall x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$ D、 $\exists x \notin [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$

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18、圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8$ 与圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 的公切线共有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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19、人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面 $α$ 经过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且以 $\vec{u} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 为法向量，设 $P (x, y, z)$ 是平面 $α$ 内的任意一点，由 $\vec{u} \cdot \vec{P_{0} P} = 0$ ，可得 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面 $α$ 的方程为 $2 x + 2 y + z - 7 = 0$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $(1, 2, - 2)$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{65}}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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20、若命题“ $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + a \leq 0$ ”为真命题，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 0)$

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