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相关试卷

1、若函数 $y = f (x)$ 是其定义域内的区间 $I$ 上的严格增函数，而 $y = \frac{f (x)}{x}$ 是 $I$ 上的严格减函数，则称 $y = f (x)$ 是 $I$ 上的“弱增函数”.若数列 $\{a_{n}\}$ 是严格增数列，而 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是严格减数列，则称 $\{a_{n}\}$ 是“弱增数列”.

(1)、判断函数 $y = ln x$ 是否为 $(e, + \infty)$ 上的“弱增函数”，并说明理由（其中 $e$ 是自然对数的底数）；

(2)、已知函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = - 2 x^{2} - 4 x - 8$ 的图像关于坐标原点对称，若 $y = f (x)$ 是 $[m, n]$ 上的“弱增函数”，求 $n - m$ 的最大值；

(3)、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，设 $T_{n} = \frac{S_{n} + 2 λ}{2^{n}} (n$ 是正整数，常数 $λ \geq - 2)$ ，若存在正整数 $k$ 和 $m$ ，使得 $k > m > 1$ 且 $T_{k} = T_{m}$ ，求 $λ$ 所有可能的值.

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2、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 1$ ， $A_{1} C = \sqrt{3}$ ， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A_{1} C ⊥ A B$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若平面 $A_{1} B B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求直线 $B A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ ， $2 sin (C + \frac{π}{6}) = \frac{b + c}{a}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $b = 1$ ， $△ A B C$ 为锐角三角形，求c的取值范围．

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4、为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表.
性别
愿意
不愿意
男生
6
10
女生
18
6

(1)、根据该 $2 \times 2$ 列联表，并依据显著水平 $α = 0.05$ 的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；

(2)、在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布及期望 $E [X]$ .
附： $P (χ^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$ .

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5、已知在 $Δ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 5$ ，其外接圆的圆心为 $O$ ，则 $\overset{⃑}{A O} \cdot \overset{⃑}{B C}$ 的值为.

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6、若函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处存在导数，则 $\lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$ 的值（）

A、与 $x_{0}$ 有关 B、与h有关 C、与 $x_{0}$ 无关 D、与h无关

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7、已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $- 1$ 的等差数列，且 $a_{4}$ 是 $a_{2}$ 与 $a_{5}$ 的等比中项， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{6} =$ （）

A、 $- 90$ B、 $- 45$ C、0 D、15

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8、已知向量 $\vec{a} = (x ， 2) ， \vec{b} = (1 ， 1)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - 3 \vec{b})$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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9、已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，则该椭圆的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{28} = 1$

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10、已知集合 $A = \{x |y = \ln (x - 1)\}$ ， $B = \{x |- 1 < x < 3\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $(- \infty, 1] \cup [3, + \infty)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(- \infty, 3)$

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11、已知i为虚数单位，若 $(1 + i) z = 1 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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12、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3} c = b (sin A + \sqrt{3} cos A)$ ， $cos (\frac{π}{3} - A) sin (\frac{π}{6} + A) = \frac{3}{4}$ ，则△ABC的形状为（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不确定

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13、若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + 1$ 在 $x = - 4$ 处取得极大值，则实数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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14、已知 $f (x) = x^{2} - 2 a \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ） $x_{0}$ 是 $y = f (x)$ 的极值点，求证： $x_{1} + 3 x_{2} > 4 x_{0}$ ．

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15、设 ${(x + 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ .

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{5}$ 是 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 中唯一的最大值，求 $n$ 的所有可能取值；

(3)、若 ${(x + 3)}^{n} = b_{0} + b_{1} (x + 2) + b_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + b_{n} {(x + 2)}^{n}$ ，求 $\sum_{r = 1}^{n} \frac{b_{r - 1}}{r}$ .

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16、根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 $y$ （单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量 $x$ （单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示．

(1)、依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请计算相关系数 $r$ ，并说明线性相关性的强弱（相关系数 $r$ 精确到小数点后2位，若 $| r | > 0.75$ ，则线性相关程度很高）；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量 $y$ 约为多少百千克．
附：数据和公式： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 6; \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 20; \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 2; \sqrt{10} \approx 3.16$ ；回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

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17、若 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式前三项的二项式系数之和为22．

(1)、求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；

(2)、求展开式中的常数项．

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18、在 $(\frac{x}{2} - y) {(x + y)}^{6}$ 的展开式中，x²y⁵项的系数是.

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19、学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 $n$ 的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则 $n$ 的值为．

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20、现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加 $A, B, C$ 三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（）

A、不同的安排方法共有 $3^{4}$ 种 B、若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有 $C_{3}^{1} (2^{4} - 1)$ 种 C、若甲，乙两人都不能去参加 $A$ 项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D、若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种

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性别	愿意	不愿意
男生	6	10
女生	18	6