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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 \ln x - \frac{2 a}{x} + 1 .$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $x f (x) \geq 3 (x - a)$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求实数a的取值范围.

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2、将若干块下图所示的由2×3个小正方形组成的矩形砖恰好铺成由6×5个小正方形组成的矩形，有种不同的铺法；若恰好铺成由6×20个小正方形组成的矩形，有种不同的铺法.

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3、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ)$ ，且 $f (2 θ - x) + f (x) = 0$ ，若 $φ \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\cos φ = \frac{1}{4}$ ，则 $\tan 2 θ =$ .

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4、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(b > 0)$ 与动圆. $M : x^{2} + {(y - m)}^{2} = \frac{m^{2}}{4} + 1 (m \in R)$ 恰有两个交点，则（）

A、双曲线C的离心率为2 B、双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、双曲线 C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 $(2, 1)$ D、过双曲线C的一个焦点 F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 $∠ A F B = 60 °$

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5、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，向量 $\vec{A A_{1}}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{A B}$ 的模长均为2，且它们彼此的夹角都是 $60 ° ，$ 动点 $P$ 在棱 $C C_{1}$ 上，则（）

A、 $A C_{1} = 2 \sqrt{6}$ B、直线BD与直线AP所成角为90° C、平面 $B D D_{1} B_{1}$ 与平面ABCD的夹角为60° D、多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} - B C D$ 的外接球体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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6、若 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ 或 $z_{1} = - z_{2}$ B、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ D、 $z_{1}^{2} = ∣ z_{1} |^{2}$

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7、如图，边长为1的正方形. $A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}$ 中， $E, F, G, H$ 为各边中点，连接 $D_{0} E, A_{0} F, B_{0} G, C_{0} H$ ，它们的交点分别为 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ ，记 $△ B_{0} C_{0} C_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ；四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 各边中点分别为 $E_{1}, F_{1}, G_{1}, H_{1}$ ，连接 $D_{1} E_{1}, A_{1} F_{1}, B_{1} G_{1}, C_{1} H_{1}$ ，它们的交点分别为 $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ ，记 $△ B_{1} C_{1} C_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ .依此方法一直继续下去，记 $△ B_{n - 1} C_{n - 1} C_{n},$ 的面积为 $S_{n} (n \in N^{*}) ，$ 则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n}$ 趋近于（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8、已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $14 \sqrt{6}$ ， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $A_{1} B_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，则点A到平面 $B B_{1} C_{1} C$ 的距离为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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9、函数 $f (x) = x - f^{'} (\frac{π}{6}) cos x$ ，则 $f (\frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{π - 4 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{π - \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{π - 4}{4}$ D、 $\frac{π - 1}{4}$

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10、已知向量 $\vec{O A} = (1, 3)$ ， $\vec{O B} = (3, 4) ，$ 点D在 $O A$ 的延长线上且 $B D ⊥ O D$ ，则 $\vec{O D} =$ （）

A、 $(\frac{9}{2}, 6)$ B、 $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ C、 $(\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ D、 $(\frac{3}{5}, \frac{9}{5})$

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11、若 $5^{m} = 2$ ， $5^{n} = 3 ，$ 则 $5^{\frac{3 m - 2 n}{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$

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12、为响应国家“体重管理年”的号召，某校高二年级对四个班的同学体重数据进行分析.将四个班同学的体重数据分别绘制成下图所示的频率分布直方图，则班级平均体重高于该班体重中位数的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知角 $α$ 的终边在直线 $3 x - y = 0$ 上，则 $\tan 2 α$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、集合 $A = {x | x = 3 n + 1, n \in Z}, B = {x | x^{2} + x \leq 2} ，$ 则 $A \cap B$ =（）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 2, - 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 2, 1\}$

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15、浙里启航团队举办了一场抽奖游戏，玩家一共抽取 $n$ 次.每次都有 $\frac{1}{2}$ 的概率抽中， $\frac{1}{2}$ 的概率没抽中.小明的抽奖得分按照如下方式计算：
1.将玩家 $n$ 次抽奖的结果按顺序排列，抽中记作1，未抽中记作0，形成一个长度为 $n$ 的仅有01的序列.
2.定义序列的得分为：对于这个序列每一段极长连续的1，设它长度为 $t$ ，那么得分即为 $t^{2}$ .
3.序列的得分即为每一段连续的1的得分和.
例如：如果玩家A抽了7次，第1，3，4，5，7次中奖，那么序列即为1，0，1，1，1，0，1，得分为 $1^{2} + 3^{2} + 1^{2} = 11$ .可能用到的公式：若 $X, Y$ 为两个随机变量，则 $E (X) + E (Y) = E (X + Y)$ .

(1)、若 $n = 3$ ，清照进行了一次游戏.记随机变量 $X$ 为清照的最终得分，求 $E (X)$ .

(2)、记随机变量 $Z$ 表示长度为 $n$ 的序列中从最后一个数从后往前极长连续的1的长度，求 $E (Z)$ .

(3)、若 $n = k$ ，清照进行了一次游戏.记随机变量 $A$ 为清照的最终得分，求 $E (A)$ .

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16、已知函数 $f (x) = ln \frac{2 x - 1}{x - 1} + a x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $y = f (x)$ 的单调减区间；

(2)、若 $0 < a \leq \frac{1}{3}$ ， $x \in [\frac{3}{2}, 2]$ ，证明： $f (x) < 2$ ；

(3)、若 $x > 1$ ，恒有 $f (x) \geq 2 ln 2 + \frac{3}{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、已知点 $A (0, - \sqrt{3}), B (0, \sqrt{3})$ ，曲线 $E$ 上的点 $M$ 与 $A, B$ 两点的连线的斜率分别为 $k_{A M}$ 和 $k_{B M}$ ，且 $k_{A M} \cdot k_{B M} = \frac{3}{4}$ ．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、是否存在一条直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $P, Q$ 两点，以 $P Q$ 为直径的圆经过坐标原点 $O$ ．若存在，求出 $\frac{1}{{|O P|}^{2}} + \frac{1}{{|O Q|}^{2}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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18、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos^{2} x - \sin 2 x - \sqrt{3} \sin^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{8}{5}$ ， $x_{0} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值.

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19、如图，已知 $B C = 3$ ， $D, E$ 为 $△ A B C$ 边 $B C$ 上的两点，且满足 $∠ B A D = ∠ C A E, \frac{B D \cdot B E}{C D \cdot C E} = \frac{1}{9}$ ，则当 $∠ A C B$ 取最大值时， $△ A B C$ 的面积等于.

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20、若 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + a x$ 在 $[- 1, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为．

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