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相关试卷

1、函数 $f (x) = \cos (\frac{π}{4} + x) \sin x$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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2、冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型 $W (t) = 2^{r t}$ 来描述累计感染甲型流感病毒的人数 $W (t)$ 随时间t， $t \in Z$ （单位：天）的变化规律，其中指数增长率 $r$ 与基本再生数 $R_{0}$ 和世代间隔T之间的关系近似满足 $R_{0} = 1 + r T$ ，根据已有数据估计出 $R_{0} = 4$ 时， $T = 12$ ．据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至 $W (0)$ 的3倍至少需要（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ， $\lg 3 \approx 0.477$ ）（）

A、6天 B、7天 C、8天 D、9天

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3、集合 $P = \{x| x < 2\}$ ， $Q = \{y| y = {(\frac{1}{2})}^{x}\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(0, \frac{1}{4})$ C、 $(0, 2)$ D、 $\emptyset$

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的其中一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，一条渐近线方程为 $2 x - y = 0$
（1）求双曲线 $C$ 的标准方程；
（2）已知倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点的纵坐标为4，求直线 $l$ 的方程.

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5、如图，圆锥 $P O$ 的底面直径和高均是 $a$ ，过 $P O$ 的中点 $O^{'}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．

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6、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $l_{1} : x - y - 3 = 0$ 上且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $M (2, 0)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l_{2} : x + 2 y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，求 $△ A B C$ 的面积.

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7、如图所示，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为1，则四棱锥 $A - B_{1} B C C_{1}$ 的体积为．

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8、已知直线 $l ： x + 2 y = 0$ 与直线 $m ： a x + 4 y + a = 0$ 平行，则 $l$ 与 $m$ 之间的距离为

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9、已知双曲线的方程是 $16 x^{2} - 9 y^{2} = - 144$ ，则该双曲线的渐近线方程为.

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10、已知一个正方体的外接球的体积为 $36 π$ ，则正方体的体积为.

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11、已知三角形三顶点 $A (0, 1), B (- 2, 0), C (2, 0)$ ，则 $A C$ 边上的高所在的直线方程为.

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12、若焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $m =$ （）

A、 $1$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
顾客年龄（岁）
20岁以下
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
5
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
13
27
12
1
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在 $[40, 60)$ 内且未使用手机支付的概率为（）

A、 $\frac{21}{50}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{23}{50}$ D、 $\frac{21}{25}$

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14、直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 5 = 0$ 与 $l_{2} : 4 x - 3 y - \frac{1}{3} = 0$ 的交点坐标为（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(\frac{7}{3}, 3)$ C、 $(3, \frac{7}{3})$ D、 $(\frac{3}{7}, 3)$

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15、与向量 $\vec{d} = (12, 5)$ 平行的单位向量为（）

A、 $(\frac{12}{13}, \frac{5}{13})$ B、 $(- \frac{12}{13}, - \frac{5}{13})$ C、 $(\frac{12}{13}, \frac{5}{13})$ 或 $(- \frac{12}{13}, - \frac{5}{13})$ D、 $(\frac{12}{13}, - \frac{5}{13})$ 或 $(- \frac{12}{13}, \frac{5}{13})$

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16、已知直线l的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，且过点 $(1, 3)$ ，则它在y轴上的截距为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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17、直线 $x = \tan 60^{°}$ 的倾斜角为（）

A、60° B、90° C、120° D、150°

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18、甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为 $\frac{a}{2} (n^{2} - n + 2)$ 万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多 $a {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ 万元．

(1)、求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；

(2)、若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？

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19、在侧棱长为 $\sqrt{6}$ 的正三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $E$ 为线段 $B C$ 上一点，且 $A P ⊥ P E$ ，点M为平面 $A B C$ 内的动点，且满足 $P M = \sqrt{3}$ ，记直线 $P M$ 与直线 $A B$ 的所成角的余弦值的取值范围为．

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20、我校南门有条长 $500$ 米，宽 $6$ 米的道路（如图 $1$ 所示的矩形 $A B C D$ ），路的一侧划有100个长 $5$ 米，宽 $2.5$ 米的停车位（如矩形 $A E F G$ ），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度 $A M = d$ （米），停车位相对道路倾斜的角度 $∠ E^{'} A^{'} M = θ$ ，其中 $θ \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ .

(1)、若 $cos θ = \frac{3}{5}$ ，求 $E E^{'}$ 和 $E^{'} M$ 的长；

(2)、求 $d$ 关于 $θ$ 的函数表达式 $d (θ)$ ；

(3)、若 $d = 3$ ，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？

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顾客年龄（岁）	20岁以下	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	70岁及以上
手机支付人数	3	12	14	9	5	2	0
其他支付方式人数	0	0	2	13	27	12	1