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相关试卷

1、四边形ABCD是复平面内的平行四边形， $A, B, C$ 三点对应的复数分别是 $1 + 3 i$ ， $2 - i$ ， $- 3 + i$ ，则点D对应的复数为．

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2、给出以下命题正确命题的选项为（）

A、要得到 $y = \cos 2 x$ 的图象，只需将 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 图象沿 $x$ 轴方向向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、函数 $y = \sin (x + \frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{6} - x)$ 的最大值为2 C、定义运算 $\otimes : a \otimes b = \{\begin{array}{l} a, a \leq b \\ b, a > b \end{array}$ ，则 $f (x) = \sin x$ 且 $g (x) = \cos x (x \in R)$ ，设 $F (x) = f (x) \otimes g (x)$ ，则 $F (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ D、函数 $f (x) = - 4 \sin^{2} x + 4 \cos x + 1 - a$ ，当 $x \in [- \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ 等时 $f (x) = 0$ 恒有解，则 $a$ 的范围是 $[- 4, 5]$

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3、下列说法中正确的有（）

A、设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为 $\sqrt{5}$ ，那么它的体积为 $\sqrt{3}$ B、用斜二测法作△ABC的水平放置直观图得到边长为a的正三角形，则△ABC面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4} a^{2}$ C、三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分 D、已知四点不共面，则其中任意三点不共线．

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4、 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (2 + x)$ ，且当 $x \in [- 2, 0]$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 1$ .若在区间 $(- 2, 6]$ 内关于x的方程 $f (x) - \log_{a} (x + 2) = 0 (a > 1)$ 至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[\sqrt[3]{4}, 2)$ D、 $(1, \sqrt[3]{4})$

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5、已知平行四边形 $A B C D$ 中， $|\vec{A B}| = 8$ ， $|\vec{A D}| = 4$ ， $∠ A = \frac{π}{3}$ ．若点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{M B}$ ，点 $N$ 为 $A B$ 中点，则 $\vec{D M} \cdot (\vec{D A} + \vec{D N}) =$ （）

A、 $6$ B、 $12$ C、 $24$ D、 $30$

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6、已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（）

A、 $64 \sqrt{6} π$ B、 $32 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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7、 $2018$ 年 $9$ 月 $24$ 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国 $89$ 岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在 $1859$ 年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字 $x$ 的素数个数大约可以表示为 $π (x) \approx \frac{x}{\ln x}$ 的结论.若根据欧拉得出的结论，估计 $10000$ 以内的素数个数为（）（素数即质数， $\lg e \approx 0.43$ ，计算结果取整数）

A、 $1079$ B、 $1075$ C、 $434$ D、 $2500$

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8、在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是（）

A、 $\frac{9 π}{2}$ B、 $\frac{7 π}{2}$ C、 $\frac{5 π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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9、i是虚数单位，若复数 $z = \frac{i^{6} + 2 i}{1 + i}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）．

A、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$

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10、已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - k x^{2}$ ， $k \in R$ .若点 $A$ 在函数 $y = f (x)$ 的图像上，且经过点 $A$ 的切线与函数 $y = f (x)$ 图像的另一个交点为点 $B$ ，则称点 $B$ 为点 $A$ 的一个“上位点”，现有函数 $y = f (x)$ 图像上的点列 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， …， $M_{n}$ ， …，使得对任意正整数 $n$ ，点 $M_{n}$ 都是点 $M_{n + 1}$ 的一个“上位点”.

(1)、若 $k = 0$ ，请判断原点 $O$ 是否存在“上位点”，并说明理由；

(2)、若点 $M_{1}$ 的坐标为 $(3 k, 0)$ ，请分别求出点 $M_{2}$ 、 $M_{3}$ 的坐标；

(3)、若 $M_{1}$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，记点 $M_{n}$ 到直线 $y = m$ 的距离为 $d_{n}$ .问是否存在实数 $m$ 和正整数 $T$ ，使得无穷数列 $d_{T}$ 、 $d_{T + 1}$ 、…、 $d_{T + n}$ …严格减？若存在，求出实数 $m$ 的所有可能值；若不存在，请说明理由.

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11、用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为 $75 \sqrt{3} m^{2}$ 的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底 $A D$ ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成 $60 °$ ，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．

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12、（1）在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ，且 $B = \frac{π}{6}$ .求角A，C的大小；
（2）在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 4, b + c = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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13、已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为 $X$ ．

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、求 $E (X)$ 和 $D (X)$ ；

(3)、求计算机网络不会断掉的概率．

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14、已知函数 $f (x) = b \cdot a^{x}$ （其中 $a$ ， $b$ 为常量，且 $a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $b \neq 0$ ）的图象经过点 $A (1, 10)$ ， $B (2, 50)$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值 $;$

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $b^{x} - {(\frac{1}{a})}^{x} \geq m + 3$ 在 $[- 2, 2]$ 上有解，求 $m$ 的取值范围．

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15、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x - 1)$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = 1 - |x|$ ，则（）

A、 $f (2025) = 0$ B、 $f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上单调递增 C、 $y = f (x - 5)$ 为奇函数 D、方程 $f (x) = lg x$ 仅有5个不同实数解

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16、如果数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式可以为（）

A、 $a_{n} = \frac{n + 1}{2 n - 1}$ B、 $a_{n} = 2 n - 1$ C、 $a_{n} = 2 n^{2} - 5 n$ D、 $a_{n} = 2^{n} - 1$

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17、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + 1)$ 是奇函数，当 $x > 1$ 时， $f (x) = \{\begin{cases} 2 - x, 1 < x \leq 2 \\ x^{2} - 4 x + 4, x > 2 \end{cases}$ ，函数 $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ ，则方程 $f (x) = g (x)$ 的所有的根之和为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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18、函数 $y = (\sin x) \ln \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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19、对于无穷数列 $\{a_{n}\}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 既是等差数列，又是等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 B、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $|a_{n}| \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 C、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $|a_{n}| \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 D、若各项为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $1 \leq a_{n} \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列

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20、若a，b，l是空间中三条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（）

A、若 $a // β$ ， $a \subset α$ ， $α \cap β = l$ ，则 $a // l$ B、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ， $a ⊥ l$ ，则 $a ⊥ β$ C、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $a // b$ ，则 $α // β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a ⊥ b$

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