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相关试卷

1、在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线 $F_{2} P$ 和反射光线 $P E$ 互相垂直时（其中 $P$ 为入射点）， $cos ∠ F_{1} F_{2} P$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{7} + 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7} - 1}{4}$

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2、圆心在 $x$ 轴上，且过点 $(- 1, - 3)$ 的圆与 $y$ 轴相切，则该圆的方程是（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 10 y = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} + 10 x = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 10 x = 0$

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3、直线 $a, b$ 的方向向量为 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，平面 $α, β$ 的法向量分别为 $\vec{m}, \vec{n}$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $a$ ∥ $b$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、若 $b$ ∥β，则 $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$ C、若 $a$ ⊥ $α$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{m} = 0$ D、若 $α$ ∥β，则 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$

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4、“ $4 < k < 6$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{6 - k} + \frac{y^{2}}{k - 4} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5、若定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足对任意的 $x$ 和 $y$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，我们就称这个函数是“优美的”．

(1)、若函数 $f (x)$ 是优美的，求 $f (0)$ ；

(2)、写出一个优美的函数 $f (x)$ ，使得 $f (2) = 6$ ，并说明 $f (x)$ 为什么是优美的；

(3)、对于任意优美的函数 $f (x)$ ，证明：对任意的有理数，都有 $f (x) = x f (1)$ ．

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6、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} {sin}^{2} x + {(sin x + cos x)}^{2}$ $.$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间

(3)、求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 的最值．

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $b = 2$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $∠ A = \frac{π}{6}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求边 $B C$ 的长.

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8、函数 $y = 3 cos x - 4 sin x$ 的最大值为.

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9、若 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 ${|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = 3$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为；

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10、已知扇形的面积为 $4 {cm}^{2}$ ，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为 $cm$ .

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11、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时 $f (x) = - x^{2} - 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1 B、 $f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (x) \geq 0$ 的解集为 $[- 2, 2]$ D、当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$

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12、下列函数中既是奇函数，又在 $(0, + \infty)$ 上为减函数的是（）

A、 $f (x) = x^{3}$ B、 $f (x) = - 2 x$ C、 $f (x) = \sqrt{x}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x}$

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13、设函数 $f (x)$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的减函数，若 $m \in R$ ，则（）

A、 $f (m) > f (2 m)$ B、 $f (m^{2}) > f (m)$ C、 $f (m^{2} + 1) < f (m)$ D、 $f (m^{2} + 1) > f (m)$

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14、若向量 $\vec{a} = (1, 5), \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b})$ （）

A、30 B、31 C、32 D、33

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15、在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则 $\vec{D F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$

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16、已知集合 $A = \{x | 0 < x < 2\}$ ， $B = \{x | x^{2} - x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | 0 < x < 2\}$ B、 $\{x | 1 < x < 2\}$ C、 $\{x | x > 0\}$ D、 $\{x | x > 1\}$

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17、已知 $M_{1} (x_{1}, 1)$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，以点 $M_{1}$ 为圆心，1为半径的圆过 $C$ 的焦点 $F$ .按如下方式依次构造点. $M_{n} (x_{n}, y_{n}) (n = 2, 3, \dots) :$ 过点 $M_{n - 1}$ 作斜率为 $k (k < 0)$ 的直线与C交于另一点 $N_{n - 1} ，$ 点 $M_{n}$ 为 $N_{n - 1}$ 关于 $x$ 轴的对称点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、令 $y_{1} = 1 ，$ 证明 ${y_{n}}$ 是等差数列，并求其通项公式；

(3)、设 $S_{n}$ 是 $△ M_{n} M_{n + 1} M_{n + 2}$ 的面积，求证： $S_{n} = S_{n + 1} .$

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18、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形.

(1)、求证： $A P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、设 $P D$ 的中点为 $E$ 且 $A E ⊥ P C$ ， $P A = 4$ .若 $Q$ 为平面 $A B C D$ 上的一点，且 $Q B + Q D = 2 \sqrt{11}$ ，求 $P Q$ 与平面 $A B C D$ 所成角正弦值的最小值.

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19、某 $4 S$ 店将 $2024$ 年第四季度购车的车主性别与购车类型统计如下表所示（单位：人），已知从该季度所有购车的车主中随机抽取 $1$ 人，抽到购买燃油车的女性车主的概率为 $\frac{1}{5}$ .

购买燃油车
购买新能源车
男性车主
$1.5 x$
$1300$
女性车主
$x$
$700$

(1)、求 $x$ 的值；

(2)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为购车车主的性别与购车类型有关?

(3)、为了回馈部分消费者，现从上述购买燃油车的车主中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取 $10$ 人，再从这 $10$ 人中随机抽取 $2$ 人赠送礼品，记这 $2$ 人中女性车主的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列以及 $E (ξ)$ .
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} .$
参考数据：
$α$
$0.1$
$0.01$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$6.635$
$10.828$

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20、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为△ABC的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $c \cos A + \sqrt{3} c \sin A = b + a .$

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 4 ，$ 求△ABC的内切圆面积最大值.

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	购买燃油车	购买新能源车
男性车主	$1.5 x$	$1300$
女性车主	$x$	$700$

$α$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$6.635$	$10.828$