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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边的长分别为a，b，c，且 $\sin B = 1$ ，向量 $\overset{⃑}{p} = (a, b), \overset{⃑}{q} = (1, 2)$ ．若 $\overset{⃑}{p} ∥ \overset{⃑}{q}$ ，则角C的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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2、若向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足： $\vec{a} \neq \vec{b}, |\vec{c}| = 1$ ，且 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | + | \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3、若 $| \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $150^{\circ}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- \sqrt{3}$

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4、如图 1 所示，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，满足 $2 \vec{C D} = \vec{D B}$ ， $G$ 是线段 $A B$ 上的点，且满足 $3 \vec{A G} = 2 \vec{G B}$ ，线段 $C G$ 与线段 $A D$ 交于点 $O$ .

(1)、若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求实数 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、若 $\vec{A O} = t \vec{A D}$ ，求实数 $t$ 的值；

(3)、如图 2，过点 $O$ 的直线与边 $A B$ ， $A C$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ，设 $\vec{E B} = λ \vec{A E}, \vec{F C} = μ \vec{A F} (λ > 0, μ > 0)$ ，设 $△ A E F$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $B E F C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的取值范围．

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5、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用. 假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 如图，将筒车抽象为一个几何图形 (圆)，筒车半径为 $2.4 m$ ，筒车转轮的中心 $O$ 到水面的距离为 $1.2 m$ ，筒车每分钟沿逆时针方向转动 3 圈. 规定：盛水筒 $M$ 对应的点 $P$ 从水中浮现 (即 $P_{0}$ 时的位置) 时开始计算时间，且以水轮的圆心 $O$ 为坐标原点，过点 $O$ 的水平直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系 $x o y$ . 设盛水筒 $M$ 从点 $P_{0}$ 运动到点 $P$ 时所经过的时间为 $t$ (单位： $s$ )，且此时点 $P$ 距离水面的高度为 $h$ (单位： $m$ ) (在水面下则 $h$ 为负数)

(1)、求 $h$ 与时间 $t$ 之间的关系.

(2)、求点 $P$ 第一次到达最高点需要的时间为多少? 在转动的一个周期内，点 $P$ 在水中的时间是
多少?

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6、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为平行四边形，点 $M, N, Q$ 分别为 $P C, C D, A B$ 的中点.

(1)、求证：平面 $M N Q / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、在棱 $P A$ 上确定一点 $S$ ，使 $N S / /$ 平面 $P B C$ ，并说明理由.

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, 4)$ ， $\vec{b} = (3, 2)$ .

(1)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直?

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + λ \vec{b}$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，求 $λ$ 的值.

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $△ A B C$ 内角 $B$ 的角平分线长为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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9、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最大值为.

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10、已知 $\sin α + \cos α = \frac{7}{5}$ ，则 $\sin 2 α$ 的值为.

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11、已知函数 $f (x) = sin ω (x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上有且仅有 $2$ 个最小值点，下列结论正确的有（）

A、 $ω \in (3, \frac{33}{7}]$ B、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上最少 $3$ 个零点，最多 $4$ 个零点 C、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有 $2$ 个最大值点 D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{5 π}{33})$ 上单调递减

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12、在如图所示的直三棱柱中，点 $A$ 和 $B B_{1}$ 的中点 $M$ 以及 $B_{1} C_{1}$ 的中点 $N$ 所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则小部分的体积和大部分的体积比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{11}{17}$ D、 $\frac{13}{23}$

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13、设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是半径为 $1$ 的圆上三点，若 $A B = \sqrt{2}$ ，则 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C}$ 的最大值为（）

A、 $3 + \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2} + \sqrt{3}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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14、已知角 $α, β$ 满足 $tan α = \frac{1}{3}, 2 sin β = cos (α + β) sin α$ ，则 $tan β =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、2

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15、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ D、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

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16、如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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17、设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n, m / / α$ ，则 $n / / α$ C、若 $m \subset α, n \subset β$ ，则 $m, n$ 是异面直线 D、若 $α / / β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m / / n$ 或 $m$ ， $n$ 是异面直线

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18、复数z满足 $z (2 - i) = |3 + 4 i|$ ，则复数z的虚部是（）

A、2 B、 $2 i$ C、1 D、 $i$

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19、设 $n \geq 3$ ，对于数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ，若对任意 $k \in \{1, 2, \dots, n - 1\}$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ 与 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{n}$ 均为非负数或者均为负数，则称数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 为强数列.

(1)、判断数列 $\sin 0$ ， $\sin \frac{π}{2}$ ， $\sin π$ ， $\sin \frac{3 π}{2}$ ， $\sin 2 π$ 与数列 $\cos 0$ ， $\cos \frac{π}{2}$ ， $\cos π$ ， $\cos \frac{3 π}{2}$ ， $\cos 2 π$ 分别是否为强数列；

(2)、若存在公比为负数的等比数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2025}$ ，使得它为强数列，求公比q的取值范围；

(3)、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列.

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20、已知函数 $f (x) = 3 x^{2} - 8 \sin (x + φ)$ ，其中 $|φ| \leq π$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 是偶函数，求 $φ$ ；

(2)、当 $φ = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的零点个数；

(3)、若 $\forall x \geq 0$ ， $f (x) \geq 0$ ，求 $φ$ 的取值范围.

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