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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知 $a = 2, 2 \sin B + 2 \sin C = 3 \sin A$ ．则 $\sin A$ 的最大值为

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2、已知 $sin x - 2 cos x = \sqrt{5} sin (x + φ)$ ，则 $sin φ - 2 cos φ =$ .

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3、在复平面内，复数 $z_{1} = 1 - a i (a \in R)$ 对应点 $Z_{1}$ 满足 $| \vec{O Z_{1}} | = \sqrt{2}$ .点 $Z$ 与 $Z_{1}$ 关于 $x$ 轴对称.则复数 $z$ 为（）

A、 $1 - \sqrt{2} i$ B、 $1 + \sqrt{2} i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别是 $a 、 b 、 c$ ，若 $(a^{2} - b^{2} + c^{2}) \tan B = a c$ ，则角B的值为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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5、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = 2 \cos (4 x - \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = 2 \cos (4 x - \frac{π}{6})$

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6、已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（）

A、 $\frac{4 π}{5}$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{π}{5}$ D、 $5 π$

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7、已知 $a = - {log}_{5} \frac{1}{3}, b = 5^{0.3}, c = {log}_{6} 2$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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8、已知复数 $z = a - b i (b < 0)$ ，满足 $|z| = 1$ ，复数z的实部为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则复数z的虚部是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (x, - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x$ 等于（）

A、-7 B、9 C、4 D、-4

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10、已知集合 $A = \{- 1, a, a + 2\}, B = \{y| y = x^{2} - 2 x, x \in A\}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则 $a =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、1或3

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11、如图在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，侧棱 $P A ⊥ P D$ ，且 $A D = 4 A B = 4$ ， $P A = 2$ ， $P C = \sqrt{13}$ ，点E为AD中点，

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - E$ 的余弦值；

(3)、点F为对角线AC上的点，且 $F G ⊥ P B$ ，垂足为G，求FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值.

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12、如图在直角梯形 $A B C D$ 中， $\vec{B C} = 2 \vec{A D}$ ， $B C = C D = 2$ ，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.

(1)、求向量 $\vec{A F}$ 与 $\vec{B E}$ 夹角 $α$ 的余弦值；

(2)、若向量 $\vec{B H} = x \vec{B D} + y \vec{A C}$ ，求实数x，y的值；

(3)、若向量 $\vec{B P}$ 与 $\vec{C P}$ 的夹角为 $β$ ，求 $cos β$ 的最小值.

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13、某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示： $A B = A D = 100$ 米， $B C = 160$ 米， $∠ B A D = 2 ∠ B C D = 120 °$ .

(1)、求 $cos ∠ B D C$ 的值；

(2)、若点 $E, F$ 分别为边 $B C, C D$ 上的点，且 $C E = 80$ 米， $C F = 60$ 米，又点 $I$ 在以C为圆心， $C F$ 为半径的圆弧 $F G$ 上（ $△ B C D$ 内部），准备将四边形 $C E I F$ 区域种植郁金香.设 $∠ E C I = θ$ ，求四边形 $C E I F$ 的面积关于 $θ$ 的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $M$ 、 $N$ 分别是BC、 $C C_{1}$ 的中点， $A B_{1} ⊥ M N$ .

(1)、证明： $M N ⊥$ 平面 $A B_{1} M$ ；

(2)、求 $C_{1}$ 点到平面 $A B_{1} M$ 的距离.

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15、已知向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 3)$ ， $\vec{c} = (6, - 1)$ .

(1)、求满足 $\vec{c} = 2 \vec{a} + y \vec{b}$ 的实数x，y的值；

(2)、若 $(4 \vec{a} + \vec{c}) / / \vec{b}$ ，求实数x的值.

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16、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ ， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (2 \vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的取值范围为.

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17、已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为.

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18、水平放置的 $△ A B C$ 斜二测直观图为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 2$ ， $∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 60 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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19、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 是线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 是线段 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $A_{1} D$ 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）

A、 $C_{1} P$ 的最小值为 $\sqrt{6}$ B、 $∠ B_{1} P C$ 可能是直角 C、三棱锥 $A - P E F$ 的体积为定值 D、 $△ P E F$ 的周长的最小值为 $2 \sqrt{5} + \sqrt{2}$

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20、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $A = \frac{π}{4}$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，若 $△ A B C$ 有且仅有一个解，则 $c - a$ 的可能取值有（）

A、0 B、 $4 - 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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