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相关试卷

1、若 $\{\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}\}$ 是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（）

A、 $\{\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} ， \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}\}$ B、 $\{\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} ， \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}\}$ C、 $\{2 \vec{e_{2}} - 3 \vec{e_{1}} ， 6 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}\}$ D、 $\{3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} ， \vec{e_{1}} - \frac{1}{3} \vec{e_{2}}\}$

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2、费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 $\frac{2 π}{3}$ .如图，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是正三角形， $A B = 4$ ， $A E = 2$ ，且B，A，D三点共线，设点P是 $△ A C E$ 内的任意一点，则 $P A + P C + P E$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\sqrt{26}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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3、已知某圆台的上、下底面半径分别为 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ ，且 $r_{2} = 3 r_{1}$ ，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{13 π}{9}$ B、 $\frac{20 π}{9}$ C、 $\frac{26 π}{9}$ D、 $\frac{26 π}{3}$

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4、若两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 2 |\vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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5、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F，G，H分别是棱 $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} C$ ， $B_{1} B$ ， $A B$ 的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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6、已知一个正方体的外接球的体积为 $\frac{9 π}{2}$ ，则这个正方体的体积为（）

A、3 B、 $\frac{27}{8}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、8

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7、已知向量 $\vec{a} = (5, 12)$ ，则与向量 $\vec{a}$ 反向的单位向量的坐标为（）

A、 $(\frac{5}{13}, \frac{12}{13})$ B、 $(- \frac{5}{13}, - \frac{12}{13})$ C、 $(\frac{12}{13}, - \frac{5}{13})$ D、 $(- \frac{5}{13}, \frac{12}{13})$

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8、设n次多项式 $P_{n} (t) = a_{n} t^{n} + a_{n - 1} t^{n - 1} + \dots + a_{2} t^{2} + a_{1} t + a_{0} (a_{n} \neq 0)$ ，若其满足 $P_{n} (\cos x) = \cos n x$ ，则称这些多项式 $P_{n} (t)$ 为切比雪夫多项式．例如：由 $\cos θ = \cos θ$ 可得切比雪夫多项式 $P_{1} (x) = x$ ，由 $\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$ 可得切比雪夫多项式 $P_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ ．

(1)、若切比雪夫多项式 $P_{3} (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ，求实数a，b，c，d的值；

(2)、已知函数 $f (x) = 8 x^{3} - 6 x - 1$ 在 $(- 1, 1)$ 上有3个不同的零点，分别记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ ．

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9、将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点 $O$ 距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点 $P$ 距离地面的高度为 $h$ （单位：米），若 $P$ 从摩天轮的最低点处开始转动，则 $h$ 与转动时间 $t$ （单位：分钟）之间的关系为 $h = A \sin (ω t + φ) + k (A > 0, ω > 0, φ \in [- π, π])$ ．

(1)、求 $A$ ， $ω$ ， $φ$ ， $k$ 的值；

(2)、摩天轮转动8分钟后，求点 $P$ 距离地面的高度；

(3)、在摩天轮转动一圈内，求点 $P$ 距离地面的高度超过65米的时长．

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10、已知角 $α$ 是第二象限角， $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $\cos α$ 和 $sin (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $\tan 2 α$ 的值.

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11、函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, φ \in [0, 2 π))$ 的部分图象如图所示，则 $f (2023) =$ .

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12、（多选）下列命题正确的是（　　）

A、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ . B、“ $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ”是“ $\vec{a} = \vec{b}$ ”的必要不充分条件 C、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 都为非零向量，则使 $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ ＋ $\frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ ＝ $\vec{0}$ 成立的条件是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向共线 D、若 $\vec{a} = \vec{b}, \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$

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13、下列三角式中，值为1的是（）

A、 $4 \sin 15 ° \cos 15 °$ B、 $2 (\cos^{2} \frac{π}{6} - \sin^{2} \frac{π}{6})$ C、 $\frac{2 \tan 22.5 °}{1 - \tan^{2} 22.5 °}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \frac{π}{6}}$

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14、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) + 1$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小值与最大值之和为0 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增

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15、如图所示的 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是线段 $B C$ 上靠近 $B$ 的三等分点，点 $E$ 是线段 $A B$ 的中点，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

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16、关于向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，下列命题中，正确的是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = - \vec{b}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$

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17、已知将函数 $f (x) = \cos 4 x$ 的图象向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后关于原点对称，则 $φ$ 的值可能为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $\frac{π}{4}$

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18、为了得到函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $g (x) = sin 2 x$ 的图象( )

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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19、 $\sin 20 ° \cos 10 ° + \sin 10 ° \sin 70 °$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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20、阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线 $G$ ： $A x^{2} + C y^{2} + 2 D x + 2 E y + F = 0$ ，则称点 $P (x_{0}, y_{0})$ 和直线 $l$ ： $A x_{0} x + C y_{0} y + D (x + x_{0}) + E (y + y_{0}) + F = 0$ 是圆锥曲线 $G$ 的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以 $x_{0} x$ 替换 $x^{2}$ ，以 $\frac{x_{0} + x}{2}$ 替换 $x$ ；以 $y_{0} y$ 替换 $y^{2}$ ，以 $\frac{y_{0} + y}{2}$ 替换 $y$ ，即可得到 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程.特别地，对于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，与点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ；对于双曲线 $\frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，与点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ；对于抛物线 $y^{2} = 2 p x$ ，与点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程为 $y_{0} y = p (x_{0} + x)$ .即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理：①当 $P$ 在圆锥曲线 $G$ 上时，其极线 $l$ 是曲线 $G$ 在点 $P$ 处的切线；②当 $P$ 在 $G$ 外时，其极线 $l$ 是从点 $P$ 向曲线 $G$ 所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当 $P$ 在 $G$ 内时，其极线 $l$ 是曲线 $G$ 过点 $P$ 的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆 $G$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ .

(1)、点 $P$ 是直线 $l$ ： $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 上的一个动点，过点 $P$ 向椭圆 $G$ 引两条切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ，是否存在定点 $T$ 恒在直线 $M N$ 上，若存在，当 $\vec{M T} = \vec{T N}$ 时，求直线 $M N$ 的方程；若不存在，请说明理由.

(2)、点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，过点 $P$ 作椭圆 $G$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，求 $△ P A B$ 面积的最大值.

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