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相关试卷

1、下列说法中正确的（）

A、已知 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, 1)$ ，且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + λ \overset{⃑}{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ B、向量 $\overset{⃑}{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ 不能作为平面内所有向量的一组基底 C、非零向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ，满足 $|\overset{⃑}{a}| > |\overset{⃑}{b}|$ 且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 同向，则 $\overset{⃑}{a} > \overset{⃑}{b}$ D、非零向量 $\overset{⃑}{a}$ 和 $\overset{⃑}{b}$ ，满足 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $30^{°}$

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2、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 的两根，则（）

A、 $z_{1} + z_{2} = 1$ B、 $|z_{1}| = |z_{2}| = 1$ C、 $z_{1}^{2} = {\bar{z}}_{2}$ D、 $z_{1} + \frac{1}{z_{1}} \in R$

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3、如图是一座山的示意图，山体大致呈圆锥形，且圆锥底面半径为2km，山高为 $2 \sqrt{15} km$ ， B是母线SA上一点，且 $A B = 2 km$ .为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡.当公路长度最短时，下坡路段长为（）

A、 $\sqrt{6} km$ B、3km C、3.6km D、 $\sqrt{15} km$

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4、已知一个直三棱柱，其底面是正三角形，一个体积为 $\frac{4 π}{3}$ 的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是

A、 $24 \sqrt{3}$ B、 $18 \sqrt{3}$ C、 $12 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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5、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，那么 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是（）．

A、 $(\frac{11 \sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ B、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ C、 $(\frac{11}{5}, \frac{22}{5})$ D、 $(\sqrt{5}, 2 \sqrt{5})$

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6、已知平面向量 $\vec{p} = (1, 2)$ ， $\vec{q} = (m, - 3)$ ， $\vec{p} ∥ \vec{q}$ ，则 $m =$ （）

A、6 B、 $- 6$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7、 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、0 D、 $- 1$

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8、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{\cos C}{\cos A} = \frac{2 b - c}{a}$ ，

(1)、若点 $M$ 在边 $A C$ 上，且 $\cos ∠ A M B = \frac{\sqrt{21}}{7}, B M = \sqrt{21}$ ，求 $△ A B M$ 的面积；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b^{2} + c^{2} = a + b c + 2$ ，求 $b + c$ 的取值范围．

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9、已知复数 $z = m^{2} - m - 2 - (m + 1) i, m \in R$ ， i为虚数单位．

(1)、当z是纯虚数时，求m的值；

(2)、当 $m = 1$ 时，求z的模．

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10、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ ．

(1)、当 $λ = - 1$ 时，求 $|\vec{c}|$ ；

(2)、当 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ 时，求 $λ$ 的值．

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11、在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\cos A = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求 $a$ 的值；

(3)、若 $a^{2} = b c$ ，判断 $Δ A B C$ 的形状．

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12、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ .

(1)、过 $B C$ 的截面交 $A_{1} A$ 于 $P$ 点，若 $△ P B C$ 为等边三角形，求出点 $P$ 的位置；

(2)、在（1）条件下，求四棱锥 $P - B C C_{1} B_{1}$ 与三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积比.

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13、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有斛.（精确到个位）

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14、向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ_{}$ ，定义运算“ $\otimes$ ”： $\vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ$ ，若 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的值为.

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15、在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为z_O=0，z_A=2+ $\frac{a}{2}$ i，z_B=-2a+3i，z_C=-b+ai，则实数a-b为.

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16、如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆 $O_{1}$ 的一条直径，若球的半径 $r = 2$ ，则（）

A、球与圆柱的体积之比为 $2 : 3$ B、四面体CDEF的体积的取值范围为 $(0, 32]$ C、平面DEF截得球的截面面积最小值为 $\frac{4 π}{5}$ D、若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $P E + P F$ 的取值范围为 $[2 + 2 \sqrt{5}, 4 \sqrt{3}]$

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17、[多选题]下列命题是真命题的是（）．

A、若A，B，C，D在一条直线上，则 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{C D}$ 是共线向量 B、若A，B，C，D不在一条直线上，则 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{C D}$ 不是共线向量 C、若向量 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{C D}$ 是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D、若向量 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{A C}$ 是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上

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18、不共面的三条定直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 互相平行，点A在 $l_{1}$ 上，点B在 $l_{2}$ 上，C、D两点在 $l_{3}$ 上，若CD $= a$ (定值)，则三棱锥A－BCD的体积

A、由Ａ点的变化而变化 B、由B点的变化而变化 C、有最大值，无最小值 D、为定值

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19、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C = a$ ， $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ A A_{1} C_{1} = 60^{\circ}$ ， $∠ B B_{1} C_{1} = 90^{\circ}$ ，侧棱长为 $b$ ，则其侧面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3} a b}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 2}{2} a b$ C、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) a b$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} a b$

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20、复数 $z$ 满足 $(- 1 + i) z = {(1 + i)}^{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则在复平面上复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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