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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 4)$ ，则（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ D、 $\vec{a} / / (\vec{a} + \vec{b})$

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2、为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝ $\sqrt{5}$ 百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝ $θ$ ， $θ \in$ ( $\frac{π}{2}$ ， $π$ )．
（1）当cos $θ$ ＝ $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ 时，求小路AC的长度；
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

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3、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $B B_{1} = 2$ ，点 $D, E$ 分别为 $B B_{1}, A C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $D E //$ 面 $A B C$ ；

(2)、求三棱锥 $C_{1} - A C D$ 的体积．

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4、在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\vec{m} = (a, c - 2 b)$ ， $\vec{n} = (\cos C, \cos A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .
(1)求角 $A$ 的大小；
(2)若 $b + c = 5$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长

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5、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} - \sqrt{2} {sin}^{2} \frac{x}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的最大值．

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6、已知正四棱台的下底面边长为4，上底面边长和侧棱长均为2，则该四棱台的体积为．

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7、已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为．

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8、 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（）

A、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{2} ⊥ l_{3} \Rightarrow l_{1} ∥ l_{3}$ B、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{2} ∥ l_{3} \Rightarrow l_{1} ⊥ l_{3}$ C、 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3} \Rightarrow l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 共面 D、 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 共点 $\Rightarrow l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 共面

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9、已知 $i$ 是虚数单位， $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、复数 $z$ 对应的点位于第二象限 B、 $|z| = \sqrt{2}$ C、复数 $z$ 的共轭复数是 $\bar{z} = i + 1$ D、复数 $z$ 的虚部是 $i$

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10、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 3, 1)$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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11、若向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ， $\vec{c} = (2, - 4)$ ，且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{8}{13}, \frac{12}{13})$ B、 $(- \frac{8}{13}, \frac{12}{13})$ C、 $(8, 12)$ D、 $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

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12、复数z =（a²-1）+（a+1）i，（a∈R）为纯虚数，则的取值是

A、3 B、-2 C、-1 D、1

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13、化简 $\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{C D}$ C、 $\vec{D C}$ D、 $\vec{D B}$

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14、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{2} c = b + \sqrt{2} a \cos B$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 1, \cos C = \frac{3}{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中 $\overset{⃑}{A D} = \frac{2}{5} \overset{⃑}{A B}$ ，点 $E$ 为 $A C$ 中点，点 $F$ 为 $B C$ 的三等分点，且靠近点 $C$ ，设 $\overset{⃑}{C B} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{C A} = \overset{⃑}{b}$ ， $∠ A C B = 60^{°}$ ， $A C = 2$ ，且 $C D ⊥ E F$ ， $C D$ 与 $E F$ 交于点 $N$ .

(1)、求 $|\overset{⃑}{C D}|$ ；

(2)、若点 $M$ 为线段 $E F$ 上的任意一点，连接 $C M, D M$ ，求 $\overset{⃑}{C M} \cdot \overset{⃑}{M D}$ 的取值范围.

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16、已知复数 $z = (2 m^{2} - 3 m - 2) + (m^{2} - 3 m + 2) i$ ．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数 $z$ 是纯虚数；
（Ⅱ）当 $m = 0$ 时，化简 $\frac{z^{2}}{z + 5 + 2 i}$ ．

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17、已知 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，求：

(1)、 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ ；

(2)、 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ .

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18、在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=4，c=6，且 $a sin B = 2 \sqrt{3}$ ，则角A=；若角A的平分线为AD，则线段AD的长为.

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19、已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ ，则该圆锥的表面积为．

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20、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\tan A + \tan B = \frac{\sqrt{3} c}{a \cos B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{6}$ B、若 $a = 2$ ，则该三角形周长的最大值为6 C、若 $△ A B C$ 的面积为2，a，b，c边上的高分别为 $h_{1}, h_{2}, h_{3}$ ，且 $h_{1} h_{2} h_{3} = t$ ，则 $t^{2}$ 的最大值为 $24 \sqrt{3}$ D、设 $\vec{B D} = \frac{c}{2 b + c} \vec{B C}$ ，且 $A D = 1$ ，则 $b + 2 c$ 的最小值为 $\frac{9 \sqrt{7}}{7}$

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