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相关试卷

1、下列命题错误的有（）

A、若非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 平行，则 $A, B, C, D$ 四点共线 B、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ C、若 $x, y \in R$ ，则 $x + y i = 1 + i$ 的充要条件是 $x = y = 1$ D、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则存在唯一实数 $λ$ 使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$

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2、已知a， $b \in R$ ， $(a - 1) i - b = 3 - 2 i$ ， $z = {(1 + i)}^{a - b}$ ，则下列说法正确的是（）

A、z的虚部是 $2 i$ B、 $|z| = 2$ C、 $\bar{z} = - 2 i$ D、z对应的点在第二象限

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3、在 $△ A B C$ 中， $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{6} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\sin B = \cos A \sin C$ ， $P$ 为线段 $A B$ 上的动点不包括端点，且 $\vec{C P} = x \frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}|} + y \frac{\vec{C B}}{|\vec{C B}|}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{3}}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $1 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

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4、设 $f (n) = {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{n} + {(\frac{1 - i}{1 + i})}^{n} (n \in Z)$ ，则 $f (n)$ 可取的值有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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5、已知点 $N 、 O 、 P$ 满足 $\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ ， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} |$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则点 $N 、 O 、 P$ 依次是 $△ A B C$ 的（）

A、重心､外心､垂心 B、重心､外心､内心 C、外心､重心､垂心 D、外心､重心､内心

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6、设向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2},$ $〈 \vec{a} - \vec{c}, \vec{b} - \vec{c} 〉 = 60 °$ ，则当 $|\vec{c}|$ 的最大值时，共起点的向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的终点所构成的三角形为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、钝角三角形

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} + b^{2} = 2023 c^{2}$ ，则 $\frac{\tan C}{\tan A} + \frac{\tan C}{\tan B} =$ （）

A、 $\frac{1}{1011}$ B、 $\frac{1}{1012}$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $\frac{2}{2023}$

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, sin θ), \vec{b} = (cos θ, \sqrt{2}) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列命题中不正确的是（）

A、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ B、当 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3}$ 时， $sin θ = \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、当 $tan θ = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可能平行

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9、对于给定集合 $A \subseteq \{(a, b) ∣ a \geq 0, b \geq 0\}$ ，若存在非负实数 $K_{1}, K_{2}$ ，对任意的 $(a, b) \in A$ 满足： $K_{1} (1 + a^{2}) (1 + b^{2}) \leq (a + b) (1 + a b) \leq K_{2} (1 + a^{2}) (1 + b^{2})$ 成立，则称集合 $A$ 具有性质 $(K_{1}, K_{2})$ .

(1)、证明：集合 $\{(a, b) ∣ a \geq 0, b = 1\}$ 具有性质 $(\frac{1}{2}, 1)$ ；

(2)、若集合 $\{(a, b) ∣ a \geq 0, b \geq 0, a + b = 1\}$ 具有性质 $(K_{1}, K_{2})$ ，求 $K_{2} - K_{1}$ 的最小值；

(3)、若集合 $\{(a, b) ∣ a \geq 0, b \geq 0, a^{3} + b^{3} = 2\}$ 具有性质 $(K_{1}, K_{2})$ ，求 $\frac{K_{1}}{K_{2}}$ 的最大值.

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10、某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为 $\frac{1}{3}$ ，派出专识题的概率为 $\frac{2}{3}$ .已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为 $\frac{3}{5}, \frac{1}{5}$ ，且各轮答题正确与否相互独立.

(1)、求该选手在一轮答题中答对题目的概率；

(2)、记该选手在第 $n$ 轮答题结束时挑战依然未终止的概率为 $p_{n}$ ，
（i）求 $p_{3}, p_{4}$ ；
（ii）证明：存在实数 $λ$ ，使得数列 $\{p_{n + 1} - λ p_{n}\}$ 为等比数列.

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11、已知椭圆 $C$ 上的动点 $M (x, y)$ 总满足关系式 $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = 2 a (a > 1)$ ，且椭圆 $C$ 与抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有共同的焦点 $F, P$ 是椭圆 $C$ 与抛物线 $Γ$ 的一个公共点， $|P F| = \frac{5}{3}$ .

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程和椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $Γ$ 于 $M, N$ 两点，交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $|M F| \cdot |N F| = 2 |A F| \cdot |B F|$ ，求直线 $l$ 的方程.

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $\sqrt{3} c = 2 a sin C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $3 + \sqrt{3}$ ，求 $b$ .

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13、对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线 $x^{4} + y^{4} - x^{2} y^{2} - x^{2} - y^{2} = 0$ 的最小覆盖圆的半径为.

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14、设函数 $f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x$ ，若 $f (x)$ 的图象过点 $P (1, 3)$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, 0)$ 处的切线也过点 $P$ ，则 $a =$ .

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15、已知角 $θ$ 的终边过点 $P (3, 4)$ ，则 $\frac{sin θ + 2 cos θ}{sin θ - cos θ} =$ .

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16、如图，在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B$ $/ /$ $C D, A B ⊥ B C, A B = 2 C D = 2, B C = C C_{1} = \sqrt{2}$ ， $M$ 是 $C C_{1}$ 中点.过 $A A_{1}$ 作与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 平行的平面 $α$ ，若 $α \cap$ 平面 $A_{1} B D = l_{1}, α \cap$ 平面 $A_{1} B C_{1} = l_{2}$ ，则（）

A、 $A_{1}, B, M, D_{1}$ 四点共面 B、棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 没有外接球 C、直线 $l_{1}, l_{2}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ D、四面体 $A_{1} B C_{1} D$ 与四面体 $A B_{1} C D_{1}$ 的公共部分的体积为 $\frac{1}{2}$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{n - 2}{2 n - 15}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、数列 ${\frac{1}{2 a_{n} - 1}}$ 为等差数列 B、 $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n + 1} > a_{n}$ C、当 $n = 8$ 时， $S_{n}$ 取得最小值 D、数列 $\{a_{n} - a_{n + 1}\}$ 的最大项的值为 $\frac{11}{3}$

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18、已知函数 $f (x) = sin(2 x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有2个零点

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19、若函数 $f (x) = e^{a x} ln (x + 1)$ 有极值，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (e, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (e^{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{1}{e}, + \infty)$

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，若 $F$ 关于直线 $y = 3 x$ 的对称点 $P$ 在 $C$ 上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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