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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + \sqrt{3} i) = - 4 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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2、已知圆心在原点的圆被直线 $y = x + 1$ 截得的弦长为 $\sqrt{14} .$
（1）求圆的方程；
（2）设动直线 $y = k (x - 1) (k \neq 0)$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，问在 $x$ 轴正半轴上是否存在定点 $N$ ，使得直线 $A N$ 与直线 $B N$ 关于 $x$ 轴对称？若存在，请求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

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3、已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，点 $D (0, \sqrt{3})$ 在椭圆 $M$ 上，过原点 $O$ 作直线交椭圆 $M$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，且点 $A$ 不是椭圆 $M$ 的顶点，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ，点 $C$ 是线段 $A H$ 的中点，直线 $B C$ 交椭圆 $M$ 于点 $P$ ，连接 $A P$
（1）求椭圆 $M$ 的方程及离心率；
（2）求证： $A B ⊥ A P$ ．

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作x轴的垂线交椭圆与点P，若直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{4}{3}$ ，则椭圆C的离心率为.

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5、已知直线 $l$ ： $k x + y + 2 k - 1 = 0$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 y - 7 = 0$ 相交于A，B两点，则（）

A、若圆C关于直线 $l$ 对称，则 $k = 1$ B、 $|A B|$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、当 $k = 3$ 时，对 $\forall λ \in R$ ，曲线 $W$ ： $x^{2} + y^{2} + 3 λ x + (λ - 6) y + 5 λ - 7 = 0$ 恒过直线 $l$ 与圆C的交点 D、若A，B，C，O（O为坐标原点）四点共圆，则 $k = \frac{10}{3}$

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6、在空间直角坐标系Oxyz中， $A (2, 0, 0)$ ， $B (1, 1, - 2)$ ， $C (2, 3, 1)$ ，则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - 5$ B、 $|\vec{A C}| = 2 \sqrt{3}$ C、异面直线OB与AC所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{30}$ D、点O到直线BC的距离是 $\frac{3 \sqrt{42}}{14}$

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7、若直线 $4 x + 3 y - 12 = 0$ 与两坐标轴的交点为 $A, B$ ，则以 $A B$ 为直径的圆的方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 3 x - 4 y = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 3 y = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} + 3 x + 4 y = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} + 4 x + 3 y = 0$

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8、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0, - 2)$ ，则实数m的值为（）

A、1 B、4 C、7 D、9

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9、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, y, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $y$ 的值为（）

A、6 B、 $10$ C、12 D、14

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10、给定正整数m，n（m，n≥3），设 $A = (\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & ⋯ & a_{m n} \end{array})$ 是一个m行n列的数表，其中 $a_{i j} \in \{- 1, 1\} (i \in$ {1，2，…，m}，j∈{1，2，…，n}）。若对任意行标k≠p、列标l≠q，当（ $(k - l) - (q - p) \in \{- 2, 2\}$ 时，都有 $a_{k l} + a_{k q} + a_{p l} + a_{p q} = 0,$ 则称数表A具有性质P。

(1)、判断下列两个数表是否具有性质 $P : A_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ - 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} - 1 \\ - 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ .

(2)、在所有具有性质P的5×4数表中，1的个数最多是多少?

(3)、若 $m = n = 6, a_{11} = 1,$ 且数表A具有性质P，证明：对任意i， $j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\},$ 都有 $a_{i j} = a_{i 1} \cdot a_{1 j} .$

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11、已知函数 $f (x) = x^{2} + m x - 4 e^{n x - 1},$ 其中 $n \in Z$ 。曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程为 $4 x + e^{2} y + e^{2} + 8 = 0 。$

(1)、求m，n的值；

(2)、求证：f（x）有两个极值点；

(3)、当k>0时，讨论直线y=kx-1与曲线y=f（x）的公共点个数.

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12、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）$ 的一个顶点是（2，0），离心率为 $\frac{1}{2} 。$

(1)、求E的方程；

(2)、过点A（1，1）作斜率为k（k≠±1）的直线交E于B，C两点。设D为B关于直线y=x的对称点，直线DC交y=x于点Q。若 $∣ S_{△ A B Q} - S_{△ A C Q} ∣ = \frac{5}{8},$ 求k的值.

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13、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 9 0^{\circ}, A B = A C = 2, B B_{1} = \sqrt{2},$ E，D分别为A₁B₁ ， AC的中点。

(1)、求证：DE∥平面BB₁C₁C；

(2)、点P在平面A₁B₁C₁内，且. $E P ‖ B_{1} C_{1},$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得P唯一确定，求平面PAD与平面PDE的夹角的余弦值。
①PA=PD；②PA⊥BC；③BB₁∥平面PDE。
（注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分。）.

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14、现从全校学生中随机抽取200人统计某项体能指标，数据按区间[81，94]、（94，107]、（107，120]、（12分组，频数依次为40，60，60，32，8。每个学生指标相互独立。

(1)、估计该指标不超过120的概率；

(2)、将指标≥120记为“偏高”，≤94记为“偏低”，其余为“正常”。用频率估计概率，从全体学生中独立随机抽取4人，求恰有2人“偏高”且2人“偏低”的概率；

(3)、若把每组数据分别用其区间的左端点、中点、右端点代表，所得三组数据的方差分别记为 $S_{左}^{2}, s_{中}^{2}, s_{右}^{2}$ ，试比较其大小并说明理由.

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15、已知函数 $f (x) = 2 s i n ω x c o s + 2 c o s ω x s i n （ ω ＞ 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2} ）$ ， f（x）的最小正周期为π，且 $f (\frac{π}{4}) = 1 。$

(1)、求ω，φ的值；

(2)、求f（x）的单调递减区间.

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16、设c∈R，函数 $f (x) = ∣ x^{2} - c o s x - c^{2} ∣ 。$ 给出下列四个论断：
①f（x）在（-1，1]上既有最小值又有最大值；
②当c=0时，f（x）=1有3个解；
③当c=1，x∈（1，2]时，f（x）有最大值；
④当c>0时，f（x）与y=c有4个交点。
其中正确论断的序号是.

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17、三棱锥A-BCD中， $A D = A B = A C = 2 \sqrt{2}, B D = B C = 2, D C = 2 \sqrt{3},$ 则其底面BCD的面积为，体积为.

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18、声压级y（单位：dB的某刻度）与频率f（Hz）满足 $y = l g (1 + \frac{f}{700}) 。$ 若lg2≤y<3lg2，则f的取值范围为

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19、等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足 $S_{6} = 6 a_{6} + 30,$ 且对任意n有 $S_{n} \leq S_{5},$ 则a₁的一个可能取值为

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20、若直线ax+y=0与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相切，则a=.

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