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相关试卷

1、函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 图象成中心对称，则： $f (- 2022) + f (- 2021) + \dots + f (0) + f (1) + f (2) + \dots + f (2023) + f (2024) =$ .

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2、已知函数 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ ，则 $f (2) =$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) =$ .

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3、已知 $min \{a, b\} = \{\begin{array}{l} a, a \leq b, \\ b, a > b, \end{array}$ ， $max \{a, b\} = \{\begin{matrix} b, a \leq b, \\ a, a > b, \end{matrix}$ 则下列选项错误的是（）

A、 $min \{a, b\} + max \{a, b\} = a + b$ B、 $min \{a, b\} = \frac{a + b - |a - b|}{2}$ C、 $max \{{(a + b)}^{2}, {(a - b)}^{2}\} \leq a^{2} + b^{2}$ D、 $max \{|a + b|, |a - b|\} \geq max \{|a|, |b|\}$

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4、定义：P，Q为一个几何系统中的任意两点，则 $d (P, Q)$ 为这两个点的最大距离，例如，某个几何系统由一个圆构成，则 $d (P, Q)$ 为此圆的直径.

(1)、已知 $△ A B C$ 为边长为2的正三角形，求由 $△ A B C$ 的外接圆构成的几何系统的 $d (P, Q)$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 为直角边为2的等腰直角三角形，其中 $A B ⊥ A C$ ，求分别以 $△ A B C$ 三边为直径的三个圆构成的几何系统的 $d (P, Q)$ ；

(3)、已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为2，求由正四面体的棱切球（与各棱相切的球）和 $△ B C D$ 的外接圆所构成的几何系统的 $d (P, Q)$ .（此小题只要求给出答案，不需过程.）

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5、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ S A D$ 为等边三角形，且S在平面 $A B C D$ 上的射影为 $A D$ 中点P， $A B = 1$ ， $V_{S - A B C D} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$ .

(1)、若E为棱 $S B$ 的中点，求证： $P E / /$ 平面 $S C D$ ；

(2)、在棱 $S C$ 上是否存在点M，使得直线 $S C$ 与平面 $P M B$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由.

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6、已知双曲线C的两个焦点坐标分别为 $F_{1} (- 2 \sqrt{2}, 0)$ ， $F_{2} (2 \sqrt{2}, 0)$ ，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4.

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、经过点 $M (3, 1)$ 作直线 $l$ 交双曲线的右支于A，B两点，且M为 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程；

(3)、已知定点 $G (\sqrt{2}, 3)$ ，点D是双曲线右支上的动点，求 $|D F_{1}| + |D G|$ 的最小值.

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7、某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东 $θ$ 角（ $θ$ 为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心 $75 \sqrt{3}$ km以内会受其影响.

(1)、若此人刚好不被台风影响，求 $\tan θ$ 的最大值；

(2)、若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？

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8、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中的一个椭圆，中心为原点，左焦点 $F (- 1, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求该椭圆的标准方程；

(2)、已知点 $A (1, 1)$ ，若P是椭圆上的动点，求线段 $P A$ 中点M的轨迹方程.

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9、已知三棱锥 $P - A B C$ 的体积为3，M是空间中一点， $\vec{P M} = - \frac{2}{9} \vec{P A} + \frac{1}{9} \vec{P B} + \frac{4}{9} \vec{P C}$ ，则三棱锥 $B - M A C$ 的体积是.

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10、直线 $y = x + 1$ 被椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 2$ 截得的弦长为.

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{5}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为.

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12、已知圆C： ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 9$ ，直线 $l$ ： $(m + 2) x + 4 y - 2 + m = 0 (m \in R)$ ，则（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 1, 1)$ B、直线 $l$ 与圆C有两个交点 C、当 $m = 1$ 时，圆C上恰有三个点到直线 $l$ 的距离等于1 D、圆C与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 8 = 0$ 恰有三条公切线

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13、已知椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 有相同的焦点 $F_{1} (- 2 \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (2 \sqrt{3}, 0)$ ，离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，点P为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 在第一象限的公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $e_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

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14、直线 $l$ ： $m x - y - 2 m + 1 = 0$ ，与圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ 相交弦中最短的弦长为（）

A、5 B、6 C、8 D、10

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15、已知圆的方程为： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$ ，则圆心坐标为（）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(2, - 4)$ D、 $(1, - 2)$

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16、在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\vec{A C} + \vec{C B} + \vec{B B_{1}} =$ （）

A、 $\vec{A_{1} C}$ B、 $\vec{A_{1} B}$ C、 $\vec{A B_{1}}$ D、 $\vec{A C_{1}}$

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17、直线 $y = x + \sqrt{3}$ 的斜率是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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18、“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为 $300$ 平方米，共 $600$ 平方米．

(1)、若矩形草坪的长比宽至少多 $5$ 米，求草坪宽的最大值；

(2)、若草坪四周的花坛宽度均为 $2$ 米，求整个绿化面积的最小值．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

(1)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、根据定义证明： $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增.

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20、已知函数 $f (x + 1) = x^{2} - x$ ，则 $f (2) =$ .

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