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相关试卷

1、已知 $f (x) = x^{2} - 2 a \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ） $x_{0}$ 是 $y = f (x)$ 的极值点，求证： $x_{1} + 3 x_{2} > 4 x_{0}$ ．

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2、设 ${(x + 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ .

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{5}$ 是 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 中唯一的最大值，求 $n$ 的所有可能取值；

(3)、若 ${(x + 3)}^{n} = b_{0} + b_{1} (x + 2) + b_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + b_{n} {(x + 2)}^{n}$ ，求 $\sum_{r = 1}^{n} \frac{b_{r - 1}}{r}$ .

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3、根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 $y$ （单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量 $x$ （单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示．

(1)、依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请计算相关系数 $r$ ，并说明线性相关性的强弱（相关系数 $r$ 精确到小数点后2位，若 $| r | > 0.75$ ，则线性相关程度很高）；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量 $y$ 约为多少百千克．
附：数据和公式： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 6; \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 20; \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 2; \sqrt{10} \approx 3.16$ ；回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

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4、若 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式前三项的二项式系数之和为22．

(1)、求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；

(2)、求展开式中的常数项．

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5、在 $(\frac{x}{2} - y) {(x + y)}^{6}$ 的展开式中，x²y⁵项的系数是.

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6、学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 $n$ 的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则 $n$ 的值为．

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7、现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加 $A, B, C$ 三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（）

A、不同的安排方法共有 $3^{4}$ 种 B、若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有 $C_{3}^{1} (2^{4} - 1)$ 种 C、若甲，乙两人都不能去参加 $A$ 项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D、若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种

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8、若点 $M$ 是曲线 $y = \frac{3}{2} x^{2} - 2 \ln x$ 上任意一点，则 $M$ 到直线 $x - y - 2 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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9、下列说法中错误的是（）

A、样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是8 B、线性回归直线 $y = \hat{a} x + \hat{b}$ 一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、两个随机变量相关系数 $r$ 越小，表明两个变量相关性越弱 D、两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好

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10、若曲线 $y = \ln x$ 与曲线 $y = x^{2} + 2 x + a (x < 0)$ 有公切线，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \ln 2 - 1, + \infty)$ B、 $[- \ln 2 - 1, + \infty)$ C、 $(- \ln 2 + 1, + \infty)$ D、 $[- \ln 2 + 1, + \infty)$

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11、为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了 $m$ 株和 $n$ 株（ $m$ ， $n \in N^{*}$ ）古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位： $kg$ ）如下表所示：
编号位置
①
②
③
④
山上
5
4
4
3
山下
4
2
2
1

(1)、根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；

(2)、记出上、山下试验田古茶树产茶量方差分为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，根据样本数据估计 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小关系；

(3)、从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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12、（1）已知 ${(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{2} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + a_{3} {(x + 1)}^{3} + a_{4} {(x + 1)}^{4}$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 的值；
（2）解不等式： $3 A_{x}^{3} < 2 A_{x + 1}^{2} + 6 A_{x}^{2}$ .

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13、在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用 $A_{i}$ 表示 $i$ 号箱有奖品 $(i = 1, 2, 3, 4)$ ，用 $B_{i}$ 表示主持人打开 $i$ 号箱子 $(i = 2, 3, 4)$ ，现在已知甲选择了 $1$ 号箱，则 $P (B_{3} |A_{2}) =$ ； $P (B_{3}) =$ .

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14、已知函数 $f (x) = a e^{x} + x$ （ $a > 0$ ）在点 $(0, f (0))$ 处的切线为直线 $l$ ，若直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{2}{3}$ ，则实数 $a =$ .

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15、若函数 $f (x) = (1 + \frac{1}{x}) (a + ln x)$ 是其定义域上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 2]$

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16、已知某物体在运动过程中，其位移 $S$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）满足函数关系式 $S (t) = \sin t - 2 \cos t + t + 1$ ，则该物体在 $t = \frac{π}{2}$ 时的瞬时速度为（）

A、 $3 m / s$ B、 $2 m / s$ C、 $\sqrt{3} m / s$ D、 $1 m / s$

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得图象对应的函数为 $g (x)$ ，当 $x \in [0, \frac{2 π}{3}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域．

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18、某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%．

(1)、写出第 $x$ 年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金 $y$ （单位：万元）与 $x$ 的函数关系式，并指出函数的定义域；

(2)、该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？
（参考数据： $lg 0.12 \approx - 0.921$ ， $lg 1.2 \approx 0.079$ ， $lg 0.112 \approx - 0.951$ ， $lg 1.12 \approx 0.049$ ， $lg 2 \approx 0.301$ ）

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19、已知函数 $f (x) = cos x$ ．

(1)、若 $f (α) = - sin \frac{π}{12}$ ， $α \in (0, π)$ ，求 $α$ ；

(2)、求 $y = f (2 x + \frac{2 π}{3})$ ， $x \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 的值域．

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20、已知 $- π < x < 0$ ， $sin (π + x) - cos x = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求 $sin x + cos x$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin x}{1 + \tan x}$ 的值．

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编号位置	①	②	③	④
山上	5	4	4	3
山下	4	2	2	1