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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．给出如下三个条件：
① $\frac{c}{a} = \frac{sin 2 C}{2 sin B - sin C}$ ；
② $\frac{sin C - sin B}{cos B + cos A} = \frac{cos B - cos A}{sin C}$ ；
③ $\frac{b + c}{a} = cos C + \sqrt{3} sin C$ ；
从这三个条件中任选一个作为 $△ A B C$ 满足的条件，完成以下问题：

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ．角A的内角平分线交边BC于D，且 $A D = \sqrt{3}$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状并证明.

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2、从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350kW·h之间，进行恰当分组后（最后一组为闭区间，其余各组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求直方图中x的值；

(2)、试估计该小区用户月用电量的平均数.

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3、已知平面向量 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b})$ 的值；

(2)、当实数k为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ．

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4、已知圆锥的母线长为2，内切球的表面积为 $\frac{4}{3} π$ ，则圆锥的底面半径为.

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5、已知平面向量 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $λ \in R$ ，则 $∣ \vec{a} + λ \vec{b} ∣$ 的最小值为.

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6、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，各射击一次，且两个人的射击结果互不影响，若甲中靶的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙中靶的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则两人都中靶的概率为.

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7、已知在 $△ A B C$ 中，BC的长为2， $△ A B C$ 的面积为2，则下列命题正确的是（）

A、 $△ A B C$ 外接圆面积的最小值为 $π$ B、 $\frac{A B}{A C}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $△ A B C$ 内切圆的半径的最大值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、若 $△ A B C$ 的内角满足 $C - B = \frac{π}{2}$ ，则 $tan C = - \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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8、在对某高中学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了高一80人，高二60人，高三60人，方差分别为 $15, 10, 12$ ，则此样本的方差不可能为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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9、复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{1} + z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $P, Q, S$ ，其中O为坐标原点，则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{O S} = \vec{O P} + \vec{O Q}$ B、 $|z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}|$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ D、若 $\vec{O P} ⊥ \vec{O Q}$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$

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10、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为1，P为 $A C_{1}$ 上的动点，S，T分别是面ABCD和面 $B C C_{1} B_{1}$ 上的动点，则 $P S + P T + S T$ 的最小值为（）

A、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11、已知虚数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是方程 $x^{3} + x - 2 = 0$ 的两个不同的根，则下列说法正确的是（）

A、 $z_{1} = 1$ B、 $∣ z_{1} ∣ = \sqrt{2}$ C、 $z_{1}^{2} + z_{2} = 0$ D、 $z_{1} + z_{2} = 1$

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12、在棱长均相等的正四棱锥S-ABCD中，E是棱SC的中点，则AE与BS所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$

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13、已知空间中四条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ ， $l_{4}$ 满足： $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{3} ⊥ l_{1}$ ， $l_{3} ⊥ l_{2}$ ， $l_{4} ⊥ l_{1}$ ， $l_{4} ⊥ l_{2}$ ，则直线 $l_{3}$ 与 $l_{4}$ 位置关系为（）

A、垂直 B、平行 C、相交 D、异面

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14、已知事件A与B相互独立，且 $P (A) = 0.7$ ， $P (B) = 0.8$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.8 B、0.5 C、0.56 D、0.94

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15、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{10}$ 的平均数为5，数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $\dots$ ， $y_{8}$ 的平均数为6，则数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{10}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{8}$ 的平均数为（）

A、 $\frac{11}{2}$ B、5 C、6 D、 $\frac{49}{9}$

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16、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(7, 2)$ D、 $(7, - 2)$

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17、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{6}{25}$ D、 $\frac{19}{25}$

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18、已知函数 $f (x) = a \sin ω x \cos ω x (a > 0, ω > 0)$ ．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在且唯一确定．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 2 \cos^{2} ω x + 1$ ，求函数 $g (x)$ 在 $(0, π)$ 上的单调递增区间．
条件①： $f (\frac{π}{4}) = 1$ ；
条件②： $f (x)$ 为偶函数；
条件③： $f (x)$ 的最大值为1；
条件④： $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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19、在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = \sqrt{5}$ ， $A B = 4$ ，点 $M$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点且 $\vec{A M} \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{C M}$ 的最小值为.

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20、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{5} = - 3$ ，且任意连续三项的和均为7，则 $a_{2026} =$ ；记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使得 $S_{n} \leq 100$ 成立的最大整数 $n =$ .

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