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1、已知直线 $l_{1} : k x - y + 1 + 2 k = 0 (k \in R)$ 过定点 $P$ ，且交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ 、交 $y$ 轴正半轴于点 $B$ ，点 $O$ 为坐标原点．

(1)、求 $|P A| \cdot |P B|$ 的最小值，并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

(2)、 $△ A B O$ 的面积为S（ $O$ 为坐标原点），求S的最小值并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

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2、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ，点 $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $E B_{1} ⊥$ 平面 $A C E$ ．

(1)、求 $D D_{1}$ 的长；

(2)、求平面 $A C E$ 与平面 $C E C_{1}$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A C E$ 的距离．

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3、已知直线 $l$ 过点 $A (4, 1)$ ．

(1)、若直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是在 $y$ 轴上的截距的2倍，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求与 $x + 6 y - 2 = 0$ 平行时的直线 $l$ 的方程．

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4、如图，已知P是半径为2，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的一段圆弧AB上一点， $\overset{⇀}{A B} = 2 \overset{⇀}{B C}$ ，则 $\overset{⇀}{P C} \cdot \overset{⇀}{P A}$ 的最小值为．

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5、已知点 $A (3, 2)$ ， $B (- 2, 3)$ ，直线 $l : k x - y - 2 k = 0$ ．若直线 $l$ 与线段 $A B$ 有公共点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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6、已知直线 $l$ 经过点 $A (- 3 ， 2)$ ，且与直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y - 1 = 0$ B、 $x - 2 y + 7 = 0$ C、 $2 x + y + 4 = 0$ D、 $2 x - y + 8 = 0$

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7、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ ，是两两垂直的单位向量，且 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} - \vec{e_{3}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{3}}$ ，则 $(6 \vec{a}) \cdot (\frac{1}{2} \vec{b})$ 等于(　　)

A、15 B、3 C、－3 D、5

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8、已知直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{a} = (- 3, 2, 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量是 $\vec{u} = (1, 2, - 1)$ ，则 $l$ 与 $α$ 的位置关系是（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l ∥ α$ C、 $l \subset α$ D、 $l ∥ α$ 或 $l \subset α$

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9、某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量 $x$ （单位：千部）与另投入成本 $f (x)$ （单位：万元）的关系式为 $f (x) = \{\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x + 750, x \in (0, 40) \\ 701 x + \frac{10000}{x} - 8700, x \in [40, 120) \end{array}$ ，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完.

(1)、求2025年的利润 $g (x)$ （单位：万元）关于年产量 $x$ （单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）；

(2)、当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 5, (x \leq 1) \\ \frac{a}{x}, (x > 1) \end{cases}$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ ； B、 $[- 2, 0)$ ； C、 $[- 3, - 2]$ ； D、 $(0, + \infty)$

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11、如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是边DC，BC上的两点， $A B = 6, A D = 4$ ．

(1)、如果P，Q分别是边DC，BC的中点，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的值．

(2)、若 $∠ P A Q = \frac{π}{4}$ ，求△PAQ的面积S_△_PAQ的最小值．

(3)、若 $\vec{D P} = \frac{1}{2} \vec{P C}$ ，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得∠THQ最大．若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由．

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12、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $\dots \dots$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、估计该企业的职工对该部门评分的 $50 %$ 分位数（保留一位小数）；

(3)、从评分在 $[40, 60)$ 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 $[50, 60)$ 的概率．

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13、已知圆锥的轴截面面积为 $9 \sqrt{3}$ ，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥外接球的表面积为．

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14、在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A = 60 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ，且 $D$ 为 $B C$ 边上一点，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的外接圆半径 $R = \frac{\sqrt{21}}{3}$ B、若 $A D$ 是 $B C$ 边上的高，则 $A D = \frac{2}{7} \sqrt{21}$ C、若 $A D$ 是 $∠ A$ 的平分线，则 $A D = \frac{6}{5} \sqrt{3}$ D、若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $A D = \frac{\sqrt{37}}{3}$

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15、已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，若 $λ + μ = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A B = A A_{1}$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $D, E, F$ 分别是棱 $B_{1} C_{1}, B C, A_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A D$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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17、设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n$ ， $m / / α$ ，则 $n / / α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ D、若 $β ⊥ α$ ， $γ ⊥ α$ ，则 $β / / γ$

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18、某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：
生鲜区
熟食区
乳制品区
日用品区
其他区
营业收入占比
48.6%
15.8%
20.1%
10.8%
4.7%
净利润占比
65.8%
-4.3%
16.5%
20.2%
1.8%
已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（）

A、本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 B、本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 C、本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40% D、本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区

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19、已知集合 $S_{n} = \{X |X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})\} (n \geq 2)$ ．对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ， $B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) \in S_{n}$ ，给出如下定义：
①A与B之间的第一距离 $d_{1} (A, B) = \sum_{i = 1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$ ；
②A与B之间的第二距离 $d_{2} (A, B) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(a_{i} - b_{i})}^{2}}$ ．

(1)、当 $n = 2$ 时， $A (0, 0)$ ，若 $d_{1} (A, B) = d_{2} (A, B) = 1$ ，求B；

(2)、当 $n = 2$ 时，若 $d_{1} (A, B) = 1$ ，求 $d_{2} (A, B)$ 的取值范围；

(3)、若 $A, B, C \in S_{n}$ ，问：“ $d_{1} (A, C) = d_{1} (A, B) + d_{1} (B, C)$ ”是“ $d_{2} (A, C) = d_{2} (A, B) + d_{2} (B, C)$ ”的什么条件，并证明.

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20、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，点 $A$ 在平面 $B C D$ 的射影为 $O$ ， $B O ⊥ C D$ ， $A D ⊥ B C$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，二面角 $A - B C - D$ ， $A - C D - B$ 的大小分别为 $60 °$ ， $45 °$ ，且 $B C = 2 + \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、求 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值；

(3)、求三棱锥 $A - B C D$ 的体积.

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	生鲜区	熟食区	乳制品区	日用品区	其他区
营业收入占比	48.6%	15.8%	20.1%	10.8%	4.7%
净利润占比	65.8%	-4.3%	16.5%	20.2%	1.8%