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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x - \sin x - a x^{2}$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(π, f (π))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上有且仅有一个极值点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = \frac{1}{π}$ 时，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $- \frac{π}{2} < x_{1} < x_{2} < \frac{π}{2}$ ，求证： $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < 0$ ．

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2、为了解学生对某项运动的喜欢情况，学校进行了一次抽样调查，得到如下数据：
男生
女生
合计
喜欢
65
35
100
不喜欢
50
50
100
合计
115
85
200

(1)、能否有99%的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关？

(2)、若学校有甲，乙两队进行此项运动比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（有一队先胜3局即获胜，比赛结束），甲队每局获胜的概率为 $p$ （ $0 < p < 1$ ）．
①若比赛打满5局的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值；
②若 $p = \frac{2}{3}$ ，在甲队赢得该场比赛的条件下，求比赛的局数 $X$ 的概率分布及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.10
0.010
0.001
$x_{0}$
2.706
6.635
10.828

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3、已知函数 $f (x) = x - \frac{2}{x + 1}$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 是中心对称图形；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $f ((a^{2} + 1) x^{2} + 1) + f (x^{2} - 6) > - 2$ 在 $(0, 1)$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、已知 ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，二项式系数的和为64，求：

(1)、 $n$ ；

(2)、含 $x^{3}$ 的项；

(3)、偶数项的系数的和．

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5、某研究机构测试了5款新能源汽车，电池容量 $x$ 与实际续航里程 $y$ 之间对应数据如下：
电池容量 $x /kWh$
40
50
60
70
80
实际续航里程 $y /km$
260
310
380
420
480
已知电池容量 $x$ 与实际续航里程 $y$ 之间具有很强的线性相关关系，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并估计当 $x = 90$ 时对应 $y$ 的值．
附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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6、若实数 $m, n$ 满足 $\ln m \geq \frac{m}{n} + ln \frac{n}{e}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ ．

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7、某兴趣小组有4名男生、2名女生，现随机选出3名学生参加志愿服务，则至少有2名男生的概率为．

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8、 $e^{ln 3} - \sqrt{{(3 - e)}^{2}} =$ ．

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9、已知函数 $f (x) = |x + \frac{k}{x}|$ ， $g (x) = x^{2} + \frac{k^{2}}{x^{2}}$ ， $k \in R$ ，则（）

A、当 $k = 3$ 时， $f (x) + g (x)$ 是奇函数 B、当 $k = 2$ 时， $f (x) g (x)$ 的最小值为 $8 \sqrt{2}$ C、任意 $k > 0$ ， $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有相同的单调区间 D、存在 $k > 1$ ，使得 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有且仅有2个不同的公共点

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10、袋中有大小相同的3个红球和5个黄球，每次随机取出1个球，用 $A_{i}$ 表示事件“第 $i$ （ $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot$ ）次取出红球”．则下列说法正确的是（）

A、 $P (\bar{A_{1}}) = \frac{5}{8}$ B、若每次取出的球不放回，则 $P (A_{2}) = \frac{3}{8}$ C、若每次取出的球放回，则 $P (A_{1} + A_{2}) = \frac{3}{4}$ D、若每次取出的球放回，则前5次取球中最有可能取到3次红球

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (3) - f (1) > 2 f^{'} (2)$ C、 $f (x)$ 的极大值为4 D、若函数 $y = f (x) - b$ 有三个零点，则 $b \in (- 2, 2)$

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，定义集合 $S = \{x_{0} |\exists ε > 0, \forall x \in (x_{0} - ε, x_{0}), f (x) > f (x_{0})\}$ ．若 $S = [0, 2]$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减 B、 $f (0)$ 是 $f (x)$ 在 $R$ 上的最小值 C、存在 $f (x)$ ，使得0是 $f (x)$ 的极大值点 D、存在 $f (x)$ ，存在 $x_{1} \in (2, + \infty)$ 使得 $f (x_{1}) \leq f (2)$

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13、某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（）

A、24种 B、36种 C、48种 D、72种

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14、若曲线 $y = 3 \ln x - x$ 在点 $(1, - 1)$ 处的切线也是曲线 $y = x^{2} - 2 x + a$ 的切线，则 $a =$ （）

A、 $- 3$ B、0 C、1 D、4

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15、函数 $y = \{\begin{array}{l} \sqrt{x}, x \geq 0, \\ x + \frac{4}{x}, x < 0 \end{array}$ 的值域为（）

A、 $[0, 4]$ B、 $[- 4, 0]$ C、 $(- \infty, 0] \cup [4, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 4] \cup [0, + \infty)$

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16、若随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ，且 $P (0.5 < X \leq 1.5) = 0.4$ ，则 $P (X > 1.5) =$ （）

A、0.3 B、0.4 C、0.5 D、0.6

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17、已知集合 $A = \{x \in N |1 \leq x \leq 3\}$ ， $B = \{x ||x - 1| \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, 2]$ B、 $[0, 3]$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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18、若随机变量 $X \sim B (5, \frac{1}{3})$ ，则 $E (X) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{10}{9}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、5

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19、对于函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，下列结论正确的（）

A、 $f (x)$ 在 $x = e$ 处取得极大值 $\frac{1}{e}$ B、 $f (x)$ 有两个不同的零点 C、 $f (2) < f (π) < f (3)$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x}$ 恒成立，则 $k > 1$

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20、已知函数 $f (x) = 2 m x^{2} - 2 (4 - m) x + 1$ ， $g (x) = m x$ ，若对于任意的实数 $x$ ， $f (x)$ 与 $g (x)$ 至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 8)$ C、 $(2, 8)$ D、 $(- \infty, 0)$

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	男生	女生	合计
喜欢	65	35	100
不喜欢	50	50	100
合计	115	85	200

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.10	0.010	0.001
$x_{0}$	2.706	6.635	10.828

电池容量 $x /kWh$	40	50	60	70	80
实际续航里程 $y /km$	260	310	380	420	480