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相关试卷

1、过抛物线 $x = 2 y^{2}$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点，交抛物线的准线于点 $C$ ．若 $\vec{A B} = 3 \vec{A F}$ ，则 $|\vec{B C}| =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $1$ C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{9}{2}$

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2、已知函数 $f (x) = 3 x^{3} - sin x + x$ ，则满足 $f (x) + f (4 - 3 x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2)$

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3、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (2 - x) = 0$ ，且 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增，设 $a = f (- 9)$ ， $b = f (\frac{7}{4})$ ， $c = f ({log}_{4} 17)$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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4、命题“ $\forall x > 1$ ， $e^{x} - 2 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \leq 1$ ， $e^{x} - 2 > 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $e^{x} - 2 \leq 0$ C、 $\exists x \leq 1$ ， $e^{x} - 2 > 0$ D、 $\exists x > 1$ ， $e^{x} - 2 \leq 0$

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5、已知复数 $z$ 在复平面内对应的点的坐标是 $(2, - 1)$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $1 - 2 i$

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6、已知集合 $A = \{x |x^{2} < 9\}$ ， $B = \{x |x - 1 > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 3 < x < 1\}$ B、 $\{x |x > 1\}$ C、 $\{x |1 < x < 3\}$ D、 $\{x |x > - 3\}$

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7、定义正方形数阵 $\{a_{(i, j)}\}$ 满足 $a_{(i, j)} = i^{2} - j^{2}$ ，其中i， $j \in N^{*}$ .

(1)、若 $i + j = 100$ ，求数阵 $\{a_{(i, j)}\}$ 所有项的和T；

(2)、若m，n，p， $q \in N^{*}$ ，求证： $a_{(m, n)} a_{(p, q)}$ 也是数阵 $\{a_{(i, j)}\}$ 中的项；

(3)、若 $i$ ， $j \in \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ， $i \neq j$ 且 $n \geq 3$ ，求 $a_{(i, j)}$ 的值为奇数的概率 $P_{n}$ .

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8、已知函数 $f (x) = x \ln x - k (x - 1) ， k \in R$

(1)、当 $k = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上有1个零点，求实数k的取值范围；

(3)、若 $f (x) + x > 0$ 在 $x \in (1, + \infty)$ 上恒成立，求出正整数k的最大值；

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9、如图所示，在四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $M$ 是 $A D$ 的中点， $P, Q$ 分别在线段 $B M, A C$ 上，且 $B P = 2 P M$ ， $A Q = 2 Q C$ ．

(1)、求证： $P Q / /$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $A D = B D = 2 C D = 6$ ， $B C = 3 \sqrt{3}$ ，求直线 $A P$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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10、在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ ，若________，求：

(1)、 $n$ 的值；

(2)、展开式中二项式系数最大的项．

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11、将9个互不相同的向量 ${\vec{a}}_{i} = (x_{i}, y_{i}), x_{i}, y_{i} \in \{- 1, 0, 1\}, i = 1, 2, \dots, 9$ ，填入 $3 \times 3$ 的方格中，使得每行、每列的三个向量的和都相等，则不同的填法种数是.

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12、已知函数 $f (x) = 2 a x - 2 \ln x$ ，函数 $g (x) = x - 2$ ，若恒有 $g (x) \leq f (x)$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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13、设等差数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n + 1}{2 n + 4}$ ，则 $\frac{a_{9}}{b_{9}} =$ .

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14、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ （ $a > 0$ ）存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），且 $f (x_{1}) = x_{1}$ ， $f (x_{2}) = - x_{2}$ .设 $f (x)$ 的零点个数为m，方程 $3 a {(f (x))}^{2} + 2 b f (x) + c = 0$ 的实根个数为n，则（）

A、 $x_{2} > 0$ B、n的取值为2、3、4 C、 $m n = m + n + 2$ D、mn的取值为3、6、9

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15、树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（）

A、36 B、48 C、54 D、56

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16、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $N$ 在对角线 $A_{1} C$ 上，点 $M$ 在对角线 $A_{1} B$ 上， $\vec{A_{1} N} = \frac{1}{3} \vec{N C}$ ， $\vec{A_{1} M} = \frac{1}{2} \vec{M B}$ ，以下命题正确的是（）

A、 $\vec{M N}$ $/ / \vec{B C}$ B、 $D_{1}$ 、 $N$ 、 $M$ 三点共线 C、 $D_{1} M$ 与 $A_{1} C$ 是异面直线 D、 $\vec{D_{1} N} = \frac{1}{2} \vec{N M}$

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17、曲线 $f (x) = e^{x} - 3 x$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、1 B、3 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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18、已知数列 $1, - 3, 5, - 7, 9, \dots$ ，则该数列的第99项为（）

A、 $- 197$ B、197 C、 $- 199$ D、199

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19、在 ${(1 + 3 x)}^{5}$ 展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、15 B、90 C、270 D、405

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20、已知向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (- 2, 2, y)$ ，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $2 x - y =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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