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相关试卷

1、为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（）

A、 $[90, 100]$ 对应矩形的高度为 $0.016$ B、样本众数估计值为75 C、样本平均数估计值为 $77.4$ D、样本成绩的第70百分位数落在 $[70, 80)$ 内

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2、将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、函数 $g (x)$ 的图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{2}$ B、函数 $g (x)$ 的图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{2}, 0)$ C、函数 $g (x)$ 的周期为 $\frac{π}{2}$ D、不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ 的解集为 $[- \frac{π}{3} + 2 k π, \frac{π}{3} + 2 k π] (k \in Z)$

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若 $| A B | = |F_{1} F_{2}|$ ， $\frac{|A F_{1}|}{|B F_{1}|} \leq \sqrt{3}$ ，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{3} - 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{3} - 1]$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

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4、已知函数 $f (x) = |\log_{2} (a x + b)|, (a + b > 1)$ 的图象过点 $(1, 1)$ ，且无限接近直线 $x = 3$ ，但又不与该直线相交，则 $a - b$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 4$ 或 $- 1$ D、 $- 1$

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, - 4)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{10}{13}, \frac{15}{13})$ B、 $(- \frac{10}{13}, - \frac{15}{13})$ C、 $(- \frac{20}{13}, - \frac{30}{13})$ D、 $(\frac{20}{13}, \frac{30}{13})$

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6、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与过点 $(4, 0)$ 的直线交于A，B两点，且满足 $O A ⊥ O B$ ，则抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = 2 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y^{2} = 6 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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7、春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（）

A、90 B、150 C、240 D、300

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8、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x} + 1, x \leq 1 \\ \log_{\frac{1}{2}} (x - 1), x > 1 \end{array}$ ，若 $f (x) = - 3$ ，则 $f (x - 8) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、 $x, y$ 均为整数是 $x y$ 为整数的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知集合 $A = \{x| (x + 1) (x - 2) < 0\}$ ，集合 $B = \{x| |x - 1| \leq 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(- 1, 2]$ C、 $[0, 2)$ D、 $(0, 2]$

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11、在三棱柱 $O A B - O_{1} A_{1} B_{1}$ 中， $P$ ， $Q$ 为 $A A_{1}$ 的三等分点，侧面 $O B B_{1} O_{1}$ 为正方形， $O A ⊥ O B$ ， $B P ⊥ O O_{1}$ .

(1)、证明：平面 $O B B_{1} O_{1} ⊥$ 平面 $O A A_{1} O_{1}$ ；

(2)、证明： $P O ⊥$ 平面 $O B B_{1} O_{1}$ ；

(3)、正方形 $O B B_{1} O_{1}$ 边长为 $3$ ， $O A = \sqrt{2}$ ，求直线 $O_{1} Q$ 与平面 $O A B$ 所成角的正弦值.

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12、已知平面向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (9, x)$ ， $\vec{c} = (4, y)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$

(1)、求 $\vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量；

(2)、求 $\vec{m} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ 的夹角.

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13、已知 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a, b, c \in R)$ ，且 $f (x) < 0$ 的解集为 $(0, 2)$ ．
（1）当 $f (1) = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $2^{f (x)} - \frac{1}{4} > 0$ 对一切实数恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = a ln x (a > 0)$ ，若函数 $g (x) = |f (|x|)| - 2025$ ，则 $g (x)$ 的所有零点之积为；方程 $|f (x)| = x$ 有三个不同的解，则实数 $a$ 的范围为.

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15、已知二面角 $α - l - β$ 为直二面角， $A \in α$ ， $B \in β$ ， $A \notin l$ ， $B \notin l$ ，则 $A B$ 与 $α$ ， $β$ 所成的角分别为 $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{4}$ ， $A B$ 与 $l$ 所成的角为.

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16、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) + \cos (ω x + \frac{π}{2})$ （ $ω > 0$ ），若 $y = f (x)$ 在 $x \in (0, 2 π)$ 部分的图象与直线 $y = - \frac{1}{2}$ 恰好产生了三个交点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{13}{12}, \frac{7}{4}]$ B、 $(\frac{7}{6}, \frac{5}{3}]$ C、 $(\frac{5}{4}, \frac{19}{12}]$ D、 $(\frac{4}{3}, \frac{3}{2}]$

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17、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n} - 11$ ， $S_{n}$ 为其前n项和，则 $S_{n}$ 的最小值为（）

A、 $- 9$ B、 $- 7$ C、 $- 3$ D、 $- 19$

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18、一组从小到大排列的数据： $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $6$ ， $8$ ， $x$ ， $18$ ， $22$ ， $23 .$ 若它们的 $70$ 百分位数是中位数的两倍，则 $x$ 的值为（）

A、 $10$ B、 $11$ C、 $12$ D、 $14$

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19、已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{14 \sqrt{5}}{3} π$ C、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{28 \sqrt{5}}{3} π$

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20、设 $a, b \in R$ ， $i$ 是虚数单位，则“复数 $z = a + \frac{b}{i}$ 为纯虚数”是“ $a b = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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