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相关试卷

1、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列判断中正确的是（）

A、平面 $P B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ B、 $A_{1} P / /$ 平面 $A C D_{1}$ C、异面直线 $A_{1} P$ 与 $A D_{1}$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{3}]$ D、若 $E$ 点为棱 $C C_{1}$ 的中点，则由 $A$ ， $B_{1}$ ， $E$ 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 $\sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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2、设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x - \cos ω x (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有3个极值点 B、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有2个最大值点 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{13}{6}, \frac{19}{6})$

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3、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $e_{1}$ $(e_{1} > \frac{3}{5})$ ，双曲线 $C_{2}$ 的离心率为 $e_{2}$ ，点P为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的交点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}} = \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{3}$ ，则 $e_{1} e_{2} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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4、某寝室安排3人打扫下一周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，则有多少种不同的安排方法（）

A、120 B、150 C、240 D、300

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5、设函数 $f (x) = x \sin x + \cos x$ 的图象在点 $(t, f (t))$ 处切线的斜率为 $k$ ，则函数 $k = g (t)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 1}{2} \in Z\}$ ， $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 4\}$ B、 $\{3, 5\}$ C、 $\{1, 3, 5\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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7、已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) - \frac{1}{2} x$ ， $x \in R$ .
（1）证明： $f (x)$ 为偶函数；
（2）若函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x + a$ 没有公共点，求 a的取值范围；
（3）若函数 $g (x) = 4^{f (x) + \frac{x}{2}} + m \cdot 2^{x} - 1, x \in [0, \log_{2} 3]$ ，是否存在 m，使 $g (x)$ 最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

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8、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 3 m - 3) \cdot x^{4 m - 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (3 - x) < f (2 x + 1)$ ，求 $x$ 的取值范围；

(3)、若对 $\forall x \in [1, 2]$ ， $\exists a \in [1, 2]$ ，使得 $f (x) \leq a t^{2} - t + a + 1$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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9、2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 $P (t)$ （满分100分）和有效训练时长 $t$ （单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： $P (t) = \{\begin{matrix} - 0.4 t^{2} + 8 t + c, 0 \leq t \leq 10 \\ - \frac{k}{t} - 1.8 t + 170, 10 < t \leq 60 \end{matrix}$ .已知初始综合性能评分 $P (0) = 40$ ，且函数图象是连续不断的.

(1)、求常数 $c$ 和 $k$ 的值；

(2)、已知大模型的标准化训练效率定义为 $E (t) = \frac{P (t) - 50}{t}$ ， $t > 0$ ，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？

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10、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cos (2 x + \frac{π}{3})$ .

(1)、填写下表，并画出 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的图象；
$2 x + \frac{π}{3}$
$\frac{π}{3}$

$\frac{7 π}{3}$
$x$
0

$π$
$f (x)$

(2)、写出 $f (x) \geq 0$ 的解集.

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11、已知集合 $A = \{x |\frac{1}{3} < 3^{x + 1} \leq 27\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 2 x - 3 > 0\}$ ， $C = \{x |m - 1 < x < 2 m + 1\}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ， $(∁_{R} B) \cup A$ ；

(2)、若 $A \cap C = C$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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12、函数 $f (x) = x^{3} - x$ 的零点个数是.

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13、已知函数 $y = f (x + 1)$ 是R上的偶函数，且 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增， $a = f (\log_{2} 8)$ ， $b = f (- \ln 2)$ ， $c = f (e^{\ln 2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、a，b，c的大小关系是： $b < c < a$ C、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty, 1]$ 上单调递减 D、关于x的不等式 $f (2 x) < f (x + 1)$ 解集为 $(\frac{1}{3}, 1)$

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14、下列说法正确的是（）

A、若α终边上一点的坐标为 $(3, - 4)$ ，则 $cos α = - \frac{4}{5}$ B、若角α为锐角，则2α为钝角 C、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 $\frac{3 π}{2}$ D、若 $sin α + cos α = \frac{1}{5} ，$ 且 $0 < α < π$ ，则 $tan α = - \frac{4}{3}$

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15、已知 $1 < a < 6$ ， $2 < b < 5$ ，则（）

A、 $a + 2 b$ 的取值范围为 $(5, 16)$ B、 $a - b$ 的取值范围为 $(- 1, 1)$ C、 $a b$ 的取值范围为 $(2, 30)$ D、 $\frac{a}{b}$ 的取值范围为 $(\frac{1}{5}, 3)$

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16、已知函数 $y = \frac{2020}{x}$ 的图象分别与函数 $f (x) = {log}_{2} x$ 和 $g (x) = 2^{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，设两交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2}$ 的值为（）

A、 $2020^{2}$ B、 $4040$ C、 $2020$ D、 $1$

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17、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，且当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = 1 - x^{2}$ ，已知函数 $g (x) = \{\begin{cases} | \lg x |, x > 0 \\ e^{x}, x \leq 0 \end{cases}$ ，则函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在区间 $[- 5, 5]$ 内的零点个数为（）

A、 $13$ B、 $12$ C、 $11$ D、 $10$

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18、若 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\tan (\frac{π}{2} - θ) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin θ - \cos θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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19、已知椭圆 $C_{1} : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点坐标为 $(0, \pm \sqrt{2})$ ，双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $C_{1}$ 有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点 $A (x, 0)$ ， $B (0, y)$ ，当点M运动时，求点 $N (x, y)$ 的轨迹C的方程.

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的渐近线方程为 $y = \pm x$ ，且经过点 $P (\sqrt{2}, 1)$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l_{1} : y = k x - 1$ 与 $C$ 有且只有一个公共点，求 $k$ 的值；

(3)、直线 $l_{2} : y = \frac{\sqrt{6}}{2} x + m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $O$ 是坐标原点．若 $△ A O B$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，求 $m$ 的值．

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$2 x + \frac{π}{3}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7 π}{3}$
$x$	0	$π$
$f (x)$