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相关试卷

1、若函数 $y = f (x)$ 对于其定义域中任意非零实数 $x$ ，都满足 $f (x) + f (\frac{1}{x}) = 0$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“好玩函数”．已知 $f (x) = lg x ， g (x) = \frac{x - 1}{x + 1} ， h (x) = lg \frac{x - 1}{x + 1}$ ．

(1)、试判断 $f (x)$ ， $g (x)$ ， $h (x)$ 是否是“好玩函数”．并说明理由；

(2)、若 $g (a^{2}) + g (\frac{1}{b^{2}}) = 0$ ，求 $4 a^{2} + \frac{9}{b^{2}}$ 的最小值；

(3)、设函数 $F (x) = f (x) - \frac{1}{g (x)}$ ，求证： $F (x)$ 在其定义域内有且仅有两个零点．

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2、如图是一扇环形砖雕，可视为扇形 $O C D$ 截去同心扇形 $O A B$ 所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径 $O D = x cm$ ，小扇形半径 $O A = 10 cm, ∠ A O B = θ rad$ ，则

(1)、求 $θ$ 关于x的函数关系式；

(2)、若雕刻费用关于x的解析式为 $w (x) = 10 x + 400$ ，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.

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3、已知函数 $f (x) = {log}_{a} x (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的图象过点 $(9, 2)$ ，解不等式 $f (x^{2} - 2 x - 3) \leq f (3 x + 11)$ ；

(2)、若 $\exists x \in R, f (x + 1) + f (x + 2) = 2 f (a x)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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4、计算求值.

(1)、已知 $\sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，求 $\sin (\frac{2 π}{3} - x) + \cos (x - \frac{π}{6})$ 的值.

(2)、若 $\sin θ = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $θ \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，求下列式子的值.
（i） $\frac{2 \sin θ + 3 \cos θ}{3 \sin θ - 2 \cos θ}$ ；（ii） $\frac{\sin (θ - \frac{π}{2}) \cos (θ + \frac{3 π}{2}) \tan (π - θ)}{\tan (- θ - π) \sin (- θ - π)}$ .

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |- 1 + \log_{2} x|, x \in (0, 4) \\ {(x - 5)}^{2}, x \in [4, + \infty) \end{array}$ ，若方程 $f (x) = c$ （其中 $c \in R$ ）有四个不同实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围为.

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6、若 $0 < x < 6$ ，则 $\sqrt{x (6 - x)}$ 的最大值是.

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7、已知 $a > b > 0$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $5^{a} < 5^{b}$ B、 $a^{- 3} < b^{- 3}$ C、 $\frac{a}{b} < \frac{a + 1}{b + 1}$ D、 $\log_{0.6} (a + 1) < \log_{0.6} (b + 1)$

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8、若定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，且当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = 1 - x^{2}$ ，已知函数 $g (x) = \{\begin{cases} |\lg x|, x > 0 \\ e^{x}, x \leq 0 \end{cases}$ ，则函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在区间 $[- 5, 5]$ 内的零点个数为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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9、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - (a + 4) x + 5, x < 2 \\ (2 a - 3) x + 1, x \geq 2 \end{array}$ ，满足对 $\forall x_{1}$ 、 $x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] （ x_{1} - x_{2} ） < 0$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{2})$ B、 $[0, \frac{3}{2})$ C、 $(0, 1)$ D、 $[0, 1]$

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10、已知命题 $p : x^{2} - 4 x +3<0$ ，则命题 $p$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x \leq 3$ B、 $1 < x < 4$ C、 $1 < x \leq 2$ D、 $1 < x < 3$

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11、角 $α$ 的终边经过点 $M (- 2, - 3)$ ，则 $3 sin α - 2 cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ B、 $- \frac{5 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、0

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12、与 $- 420 °$ 角终边相同的最小正角是（）

A、 $\frac{11 π}{6}$ B、 $\frac{5π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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13、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ， $F_{1}, F_{2}$ 为左、右焦点，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 交椭圆于 $A, B$ 两点．

(1)、若直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴，求 $|A B|$ ；

(2)、当 $∠ F_{1} A B = 90 °$ 时， $A$ 在 $x$ 轴上方，求 $A$ 、 $B$ 的坐标；

(3)、设 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，求点 $A$ 到直线 $O M$ 的距离 $d$ 的最小值．

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14、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B_{1} A_{1} A = ∠ C_{1} A_{1} A = 60^{0}, A A_{1} = A C = 4$ ， $A B = 2$ ， $P, Q$ 分别为棱 $A A_{1}, A C$ 的中点.
（1）在平面 $A B C$ 内过点 $A$ 作 $A M / /$ 平面 $P Q B_{1}$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，并写出作图步骤，但不要求证明.
（2）若侧面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 侧面 $A B B_{1} A_{1}$ ，求直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $P Q B_{1}$ 所成角的正弦值.

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{5} = 20$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{4} + b_{4} = 9$ ，且公比为q，从① $q = 2$ ；② $q = \frac{1}{2}$ ；③ $q = - 1$ 这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列 $\{a_{n} - b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $\frac{\tan A \tan B}{\tan A + \tan B} = \frac{1}{2}, c = \sqrt{3}, C = \frac{π}{3}$ ，则 $a b$ 的值为．

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17、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上有一点 $P$ 到准线的距离为9，那么点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为．

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18、设 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ 是函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ 的三个零点，则（）

A、 $x_{1} < 0$ B、 $a < \frac{e^{2}}{4}$ C、若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列，则 $- x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等比数列 D、若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列，则 $x_{3} - x_{1} = 4 \ln (1 + \sqrt{2})$

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19、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别为棱 $B_{1} C_{1}, C D$ 的中点，则（）

A、 $A E ⊥ B D$ B、 $A_{1} E ⊥$ 平面 $B B_{1} F$ C、 $E F //$ 平面 $A B_{1} C$ D、 $B E // D C_{1}$

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20、已知点 $A_{i} (x_{i}, 0) (1 \leq i \leq 10, i \in N)$ 与点 $B_{i} (y_{i}, 10) (1 \leq i \leq 10, i \in N)$ 关于点 $(3, 5)$ 对称，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{10}$ 的平均数为 $a$ ，中位数为 $b$ ，方差为 $c$ ，极差为 $d$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $\dots$ ， $y_{10}$ 这组数满足（）

A、平均数为 $3 - a$ B、中位数为 $6 - b$ C、方差为 $c$ D、极差为 $d$

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