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相关试卷

1、正方形 $A B C D$ 、 $A B E F$ 的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点 $M$ 、 $N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ．则（）

A、直线 $A C$ 与 $B F$ 所成的角为 $45 °$ B、 $M N / /$ 平面 $D A F$ C、当 $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时， $M N$ 的长最小，且最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、当 $M N$ 的长最小时，点 $F$ 到平面 $A M N$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2、某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（）

A、 $P (X \leq 30) = 0.5$ B、 $P (Y \leq 40) = P (Y \geq 30)$ C、若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D、若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车

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3、设 $a, b, c \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $a = cos a$ ， $b = sin (cos b)$ ， $c = cos (sin c)$ ，则它们的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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4、一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（）

A、7或 $- 5$ B、5或 $- 3$ C、3或 $- 3$ D、1或 $- 1$

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5、已知 $tan θ = 2$ ，则 $\frac{sin θ + sin θ cos 2 θ}{cos θ}$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6、双曲线的渐近线方程是 $y = \pm 2 x$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ 或 $2 \sqrt{5}$

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7、溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为 $pH = - lg [H^{+}]$ ，其中 $[H^{+}]$ 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（）

A、已知纯净水的 $pH = 7$ ，则纯净水中 $[H^{+}] = 10^{7}$ 摩尔/升 B、已知胃酸中 $[H^{+}] = 2.5 \times 10^{- 2}$ 摩尔/升，则胃酸的 $pH \geq 2$ C、溶液中 $[H^{+}] > 10^{- 7}$ 摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D、溶液中 $[H^{+}] < 10^{- 7}$ 摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大

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8、圆锥的表面积为 $π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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9、在复平面内，复数 $\frac{1 + i}{1 - i}$ 对应的点位于（）

A、实轴 B、虚轴 C、第二象限 D、第四象限

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10、已知 $M = {x ∣ 4 x^{2} - 4 x - 15 > 0}$ ， $N = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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11、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ，点 $D$ 是平面 $A B C$ 上的动点，则 $A_{1} D + \frac{\sqrt{2}}{2} C D$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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12、某校举办“数学文化节”，设有 $n$ 个不同主题的展区（ $n \geq 2$ ），每个展区有唯一的主题编号，分别为1，2，…， $n$ .游客从任一展区开始参观打卡，打卡机每次会从尚未参观过的展区中，等可能地随机选择一个作为下一个参观的展区.规定：若连续参观的两个展区主题编号之和为奇数，则参观者获得一枚纪念章，否则不获得纪念章，记参观者参观完所有展区获得的纪念章枚数为 $X$ .

(1)、当 $n = 3$ 时，求参观者仅获得1枚纪念章的概率；

(2)、当 $n = 4$ 时，求参观者获得纪念章枚数 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、设 $a_{n}$ 为 $n$ 个展区时参观者获得纪念章枚数 $X$ 的期望值，求 $a_{n}$ 关于 $n$ 的表达式，并证明 $\{a_{n}\}$ 是递增数列.

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13、已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ （ $a \in R$ ）， $g (x) = x e^{1 - x}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a = 1$ 时，对任意 $x > 0$ ，都有 $f (x) < g (x)$ ；

(3)、若方程 $f (x) = g (x)$ 没有实根，求整数 $a$ 的最小值.

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，且经过点 $P (2, \sqrt{2})$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $Q (1, 1)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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15、如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ，且 $A B = 2$ ，三角形 $A D E$ 是正三角形，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ .点 $F$ 在平面 $A B C D$ 上的投影为 $B D$ 与 $A C$ 的交点 $O$ ，且 $O F = \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A O F$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $D$ 到平面 $B E F$ 的距离.

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b \cos C = 2 a - c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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17、若数列 $\{a_{n}\}$ （ $n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, k$ ）满足 $a_{1} = a_{k} = a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{k} = t$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k - t$ 和谐数列”.已知数列 $\{b_{n}\}$ 是“ $6 - 0$ 和谐数列”，且 $b_{n} \in \{- 1, 0, 1\}$ ，则满足条件的数列 $\{b_{n}\}$ 的个数为.

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18、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ，点 $P$ 在 $C$ 上运动，则 $△ P A B$ 面积的最小值为.

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19、已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 3 y = 8$ ，则 $(x + 1) (y + 1)$ 的最大值为.

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20、若函数 $f (x)$ 图象上存在不同的两点 $A$ 和 $B$ ，使得 $f (x)$ 的图象在点 $A$ ， $B$ 处的切线交于直线 $x = m$ （ $m$ 为常数）上同一点，则称 $A$ ， $B$ 为函数 $f (x)$ 的一对“关于直线 $x = m$ 的共轴切点”. 已知函数 $f (x) = e^{x} - k x^{2} (k \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在实数 $k$ ，使得 $f (x)$ 不存在关于 $y$ 轴的共轴切点 B、若 $f (x)$ 存在关于直线 $x = 1$ 的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C、若 $k < 0$ ，则存在实数 $m$ ，使得 $f (x)$ 存在关于直线 $x = m$ 的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D、若 $k < 0$ ，则对于任意 $m$ ， $f (x)$ 都存在关于直线 $x = m$ 的共轴切点

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