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相关试卷

1、如图，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆上且 $y_{0} > 0$ ， $P Q$ ， $P R$ 分别经过 $C$ 的左、右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $\vec{P F_{1}} = λ \vec{F_{1} Q}$ ， $\vec{P F_{2}} = μ \vec{F_{2} R}$ ．

(1)、若 $λ = 2$ ，求点 $P$ 的坐标；

(2)、证明： $λ + μ$ 是定值，并求出 $λ + μ$ 的值；

(3)、求四边形 $F_{1} Q R F_{2}$ 面积最大值．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 1, B C = 2, B D = 2 \sqrt{2}, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ B C$ ；

(2)、若 $P A = 2 \sqrt{2}$ ，且 $A C = A D, G$ 为 $△ P C D$ 的重心，求直线 $C G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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3、已知函数 $f (x) = a x + \frac{1}{e^{x}}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若直线 $y = 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，求 $a$ 的值．

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4、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n} ， n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} + 1}{2^{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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5、已知复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 - i) = 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ .

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长分别为a，b，c，且满足 $\sin B + \sin C = 2 \sin A \cos B$ ．点 $D$ 在线段 $A B$ 的延长线上，则下列选项中正确的是（）

A、 $a^{2} - b^{2} = b c$ B、若 $2 c = a + b$ ，则 $\cos ∠ A B C = \frac{4}{5}$ C、 $A = 2 B$ D、若 $|A B| = 3, |B D| = 1$ ，当点 $C$ 运动时， $|C D| - |C A|$ 为定值

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7、已知数据 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot, a_{8}$ 的平均数为M，中位数为N，方差为P，极差为Q，设 $b_{i} = 3 a_{i} - 2 (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 8)$ ，得到新数据 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdot \cdot \cdot, b_{8}$ ，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（）

A、平均数是3M B、中位数是 $3 N - 2$ C、方差是9P D、极差是 $3 Q - 2$

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8、已知不重合的圆 $C_{1}, C_{2}$ 都过点 $(- 1, 2)$ ，且均与两坐标轴相切，则圆 $C_{1}, C_{2}$ 的公共弦长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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9、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F (\frac{3}{2}, 0), M$ 是C上一点，对于x轴上一点 $T (t, 0), t > 0$ ，都有 $| M T | \geq t$ ，则t的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{3}{2})$ B、 $(0, 3]$ C、 $(0, \frac{9}{2}]$ D、 $(0, 6]$

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10、若点 $(α, 0)$ 是函数 $y = 3 sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象的一个对称中心，则 $\sin 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、已知平面内三点 $A (1, 0), B (0, 1), C (2, 3)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{2}{\sqrt{10}}, \frac{6}{\sqrt{10}})$ B、 $(2, 6)$ C、 $(\frac{1}{10}, \frac{3}{10})$ D、 $(\frac{1}{5}, \frac{3}{5})$

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12、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到直线 $l : 2 x - y + \frac{7}{2} = 0$ 的距离为 $\frac{11 \sqrt{5}}{10}$ ．

(1)、求抛物线 $E$ 的方程．

(2)、点 $P$ 为直线 $l$ 上的一点，过点 $P$ 作 $E$ 的切线，切点分别为 $M, N$ ．
①问：直线 $M N$ 是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．
②若点 $P$ 在抛物线 $E$ 的准线上，切点 $M$ 在第一象限内，存在过点 $P$ 的直线与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作平行于 $P M$ 的直线，分别与直线 $M N$ 和直线 $M B$ 交于点 $G, H$ ，若 $| A G | = λ | A H |$ ，求 $λ$ 的值．

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13、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = ln (x - 1)$ ．

(1)、求曲线 $g (x)$ 在点 $(2, g (2))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) > g (x) + 3$ ；

(3)、若 $a > 0$ ，关于 $x$ 的不等式 $a f (x) + ln a < g (x) - 1$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、如图，已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $∠ B B_{1} A_{1} = ∠ B B_{1} C_{1} = 60 °$ ，点 $D$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、证明：平面 $B B_{1} D ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若 $B D = B_{1} D = \sqrt{2}$ ，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求点 $A$ 到平面 $A_{1} B M$ 的距离．

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $b + 2 b cos A = c$ ．

(1)、证明： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 1$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 上一点， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，求 $A D + \frac{1}{a}$ 的值；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{c}{b}$ 的取值范围．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $n a_{n} = S_{n} + 3 n (n - 1)$ ，且 $a_{1} = 1$ ．

(1)、求数列 $\{S_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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17、已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记 $X$ 为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则 $X$ 的数学期望 $E (X) =$ ．

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18、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (2 + x)$ ，当 $x \in (- \infty, 1]$ 时， $f (x) = e^{2 x} - e^{- x}$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为．

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19、已知锐角 $α$ 满足 $tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $sin (α + \frac{π}{4})$ 的值为．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $1 \leq |P F_{1}| \leq 5$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ B、若 $b = 2$ ， $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{F_{2} P} = 0$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2 C、若 $a = 5$ ， $b = 3$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若 $∠ P F_{1} F_{2} = 15 °$ ， $∠ P F_{2} F_{1} = 105 °$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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