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相关试卷

1、已知直线 $l_{1} : k x - y - 3 - 4 k = 0 (k \in R)$ 过定点 $P$ ．

(1)、求过点 $P$ 且在两坐标轴上截距相等的直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴负半轴于点 $B$ ．
（ⅰ）求实数 $k$ 的取值范围；
（ⅱ）若三角形 $A B O$ 的面积为 $S$ （ $O$ 为坐标原点），求 $S$ 的最小值并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

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2、已知圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴上，并且过 $A (- 1, 1)$ 和 $B (1, 3)$ 两点．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l : y = k x + 2$ 被圆 $C$ 截得的弦长 $L = 2 \sqrt{2}$ ，求直线的 $l$ 方程．

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3、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B = 1$ ， $∠ B C A = 90^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M, N$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} A$ 的中点．

(1)、求 $\cos ⟨\vec{B A_{1}}, \vec{C B_{1}}⟩$ 的值；

(2)、求证： $B N$ ⊥平面 $C_{1} M N$ ．

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4、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3$ ， $l$ 为过 $M (1, \sqrt{2})$ 的圆的切线，A为 $l$ 上任一点，过A作圆 $N : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是．

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5、已知 $\vec{a} = (1, 3, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 2, 1)$ ，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量（用坐标表示）

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6、已知两条直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 和 $x - 3 y + 4 = 0$ 相交，则这两条直线的交点坐标为；

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7、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 4 = 0$ ，直线 $l : (a + 1) x + a y + 1 = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 1, 1)$ B、直线 $l$ 与圆 $C$ 可能相切 C、直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长的最小值为4 D、当 $a = 3$ 时，圆 $C$ 上到直线 $l$ 距离为2的点恰有三个

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8、已知两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 方程分别为 $3 x + 4 y + 12 = 0$ 与 $a x + 8 y - 11 = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ，则 $a = 6$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{32}{3}$ C、若 $a \neq 6$ ，则直线 $l_{1}, l_{2}$ 一定相交 D、若 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ，则两条平行直线之间的距离为 $\frac{5}{2}$

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9、已知点 $A (2, - 3), B (- 5, - 2)$ ，过点 $P (- 1, 1)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ （含端点）有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{4}{3}, \frac{3}{4}]$ B、 $(- \infty, - \frac{3}{4}] \cup [\frac{4}{3}, + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{4}, \frac{4}{3}]$ D、 $(- \infty, - \frac{4}{3}] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$

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10、直线 $\sqrt{3} x + y + 2023 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $A$ 为椭圆短轴的上端点， $P$ 为椭圆上异于 $A$ 点的任一点，若 $P$ 点到 $A$ 点距离的最大值仅在 $P$ 点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知 $b = 1$ ．

(1)、若 $a = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，判断椭圆 $Γ$ 是否为“圆椭圆”；

(2)、若椭圆 $Γ$ 是“圆椭圆”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若椭圆 $Γ$ 是“圆椭圆”，且 $a$ 取最大值， $Q$ 为 $P$ 关于原点 $O$ 的对称点， $Q$ 也异于 $A$ 点，直线 $A P$ 、 $A Q$ 分别与 $x$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点，试问以线段 $M N$ 为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ B C D = ∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2 C D = 2 B C = 4 \sqrt{2}$ ， M是棱PC上的点，且 $\vec{P M} = λ \vec{P C}$ ， $0 \leq λ \leq 1$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面PAD；

(2)、设二面角 $M - B D - C$ 的大小为 $θ$ ，若 $\cos θ = \frac{\sqrt{13}}{13}$ ，求 $λ$ 的值.

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13、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为4的菱形， $A B = B C = \sqrt{13}$ ，点 $D$ 为棱 $A C$ 上动点（不与 $A$ 、 $C$ 重合），平面 $B_{1} B D$ 与棱 $A_{1} C_{1}$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $B B_{1} / /$ $D E$ ；

(2)、已知 $B A_{1} = \sqrt{21}, \frac{A D}{A C} = \frac{3}{4}, ∠ A_{1} A C = 60 °$ ，求直线 $A B$ 与平面 $B_{1} B D E$ 所成角的正弦值．

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14、已知直线 $l_{1} : x + y + 2 = 0, l_{2} : x + y = 0$ ，直线l过点 $(10, - 4)$ 且与 $l_{1}$ 垂直.

(1)、求直线l的方程；

(2)、设l分别与 $l_{1}, l_{2}$ 交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程.

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15、我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与它的渐近线以及直线 $y = \pm 4 \sqrt{2}$ 所围成的图形，将此图形绕 $y$ 轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为．

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16、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $P A = A B = B C = 6$ ，则向量 $\vec{P C}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（用向量 $\vec{B C}$ 来表示）.

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17、点 $M (1, 0)$ 到直线 $y = k x + 2$ 的距离最大值是．

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18、中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，到两定点 $F_{1} (- a, 0), F_{2} (a, 0)$ 距离之积为常数 $a^{2}$ 的点的轨迹 $C$ 是双纽线．若 $M (3, 0)$ 是曲线 $C$ 上一点，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 上有且仅有1个点 $P$ 满足 $|P F_{1}| = |P F_{2}|$ B、曲线 $C$ 经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C、若直线 $y = k x$ 与曲线 $C$ 只有一个交点，则实数 $k$ 的取值范围为 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3

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19、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、平面 $B B_{1} P ⊥$ 平面 $A B C D$ B、 $B P$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、若 $P$ 是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $A A_{1}$ 到平面 $B B_{1} P$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、若直线 $B_{1} P$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，则 $D_{1} P = \frac{1}{2}$

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20、已知向量 $\vec{e_{1}} = （ t, 2 t, 2), \vec{e_{2}} = (2 t - 2, - t, - 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{e_{1}} ⊥ \vec{e_{2}}$ ，则 $t = - 1$ B、若 $\vec{e_{1}} / / \vec{e_{2}}$ ，则 $t = \frac{4}{5}$ C、 $|\vec{e_{1}}|$ 的最大值2 D、 $< \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}} >$ 为钝角，则 $t > - 1$

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