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相关试卷

1、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、1

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2、函数 $f (x) = x^{2} \log_{4} \frac{2 + x}{2 - x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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3、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C, A B = 1, A C = A A_{1} = 2$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值．

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4、如图，已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A D ⊥ C D, A B / / C D$ ， $A B = A D = P D = 2, C D = 4$ ，点 $E$ 是棱 $P C$ 上靠近 $P$ 端的三等分点，点 $F$ 是棱 $P A$ 上一点.

(1)、证明： $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求点 $F$ 到平面 $B D E$ 的距离；

(3)、求平面 $B D E$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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5、随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：
时间 $x$
1
2
3
4
5
交易量 $y$ （万套）
$0.5$
0.8
1.0
1.2
1.5
若 $y$ 与 $x$ 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列说法错误的是（）

A、根据表中数据可知，变量 $y$ 与 $x$ 正相关 B、经验回归方程 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 0.28$ C、可以预测 $x = 6$ 时房屋交易量约为 $1.72$ （万套） D、 $x = 5$ 时，残差为 $- 0.02$

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R ， f (1) = - 2$ ，对任意 $x \in R ， f^{'} (x) > 3$ 恒成立，则 $f (x) > 3 x - 5$ 的解集为（）

A、 $R$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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7、不等式 $(x - 1) (x - 3) \leq 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $[1, 3]$ C、 $(0, 2)$ D、 $(6, + \infty)$

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8、已知函数 $f (x) = a e^{x} - e^{- x}, (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求此时 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - (a + 1) x$ ，且存在 $x_{1}, x_{2}$ 分别为 $g (x)$ 的极大值点和极小值点.
（i）求函数 $g (x)$ 的极值；
（ii）若 $a \in (1, + \infty)$ ，且 $g (x_{1}) + k g (x_{2}) > 0$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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9、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 2 x < 3\}, B = \{x |2^{x} + x < 3\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如， $[- 0.5] = - 1$ ， $[1.1] = 1$ ，已知函数 $f (x) = [x]$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $x \in (0, 1)$ ，则 $f (- x) + \frac{1}{4} < - [f (x) + \frac{1}{4}]$ B、 $f (x + y) < f (x) + f (y)$ C、设 $g (x) = f (2 \sqrt{5} x) + f (\frac{x^{2}}{20})$ ，则 $\sum_{k = 1}^{20} g (k) = 401$ D、所有满足 $f (m) = f (n) (m, n \in [0, \frac{14}{3}])$ 的点 $(m, n)$ 组成的区域的面积和为 $\frac{40}{9}$

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11、对于 $z_{0}, z_{1}, z_{2} \in C$ ，记 $k = |\frac{z_{1} - z_{0}}{z_{2} - z_{0}}|$ 为 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $z_{0}$ 的“差比模”.若取遍 $|z_{0}| = r (r > 0)$ ，记 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $|z_{0}| = r$ 的“差比模”的最大值为 $k_{max}$ ，最小值为 $k_{min}$ ，若 $k_{max} + k_{min} = 2$ ，则称 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的.

(1)、若 $z_{0} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, z_{1} = 1, z_{2} = - 1$ ，求 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $z_{0}$ 的“差比模”；

(2)、若 $z_{1} = 1 + \sqrt{3} i, z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$ ，是否存在 $r < 2$ ，使得 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的？若存在，求出 $r$ 的值；若不存在，说明理由；

(3)、若 $z_{1} = a, z_{2} = b i, a, b \in R$ 且 $a, b > r$ ，若 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的，求 $\frac{b^{2} - a^{2}}{r^{2}}$ 的值.

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12、设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 是椭圆 $E$ 的一个顶点， $A, B$ 分别是椭圆的左右顶点.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、动点 $P$ 、 $Q$ 为椭圆上异于 $A, B$ 的两点，设直线 $A P$ ， $B Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{2} = 3 k_{1}$ ，求证：直线 $P Q$ 经过定点.

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13、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $A D = C D = 1$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ， $P A = \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $M$ 是线段 $P D$ 上的一点（不包括端点）.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求 $A$ 点到平面 $P C D$ 的距离；

(3)、试确定点 $M$ 的位置，使直线 $M A$ 与平面 $P C D$ 所成角 $θ$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

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14、已知偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) - g (x) = 2^{1 - x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\forall x \in R$ ，不等式 $m f (x) \leq {[g (x)]}^{2} + 2 m + 4$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $h (x) = {[\frac{f (x) + g (x)}{2}]}^{2} + {[\frac{g (x) - f (x)}{2}]}^{2} - 2 m g (x)$ ，且 $h (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $- 2$ ，求 $m$ 的值．

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15、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 1) x + 1 (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 1]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围．

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集．

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16、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 5) \cdot x^{m} (m \in R)$ 是定义在R上的偶函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [\frac{1}{3}, 81]$ 时，求函数 $g (x) = f ({log}_{3} x) - 2 {log}_{3} [f (x)] + 2$ 的最大值，并求对应的自变量 $x$ 的值．

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17、已知角 $α$ 以 $x$ 轴的非负半轴为始边，点 $P (4, - 3 m)$ 在角 $α$ 的终边上，且 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，

(1)、求 $m$ 及 $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 \sin (π - α) + \sin (α + \frac{π}{2}) \tan (π - α)}{\sin (\frac{3 π}{2} - α) + \cos (\frac{π}{2} + α)}$ 的值．

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18、设全集 $U = R$ ，已知集合 $A = \{x | \frac{x + 1}{x - 4} \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x | x^{2} + 3 x - 10 < 0\}$ ，

(1)、求 $A \cap B$ 和 $∁_{U} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $C = \{x |a \leq x \leq 2 a + 2\}$ 且 $A \cap C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x} + 1, x \leq 0 \\ |\log_{4} x|, x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - (a + 2) f (x) + a + 1$ 恰好有五个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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20、已知 $\sin θ + \cos θ = \frac{4}{3}$ ， $θ \in (0, \frac{π}{4})$ ，则 $sin θ - cos θ$ 的值为.

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时间 $x$	1	2	3	4	5
交易量 $y$ （万套）	$0.5$	0.8	1.0	1.2	1.5