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1、下列结论正确的是（）

A、当 $m = - 1$ 时，复数 $z = m + 1 + (m - 1) i$ 是纯虚数 B、复数 $z = (1 + i) (1 - i)$ 对应的点在第一象限 C、复数z及其共轭复数 $\bar{z}$ 满足 $2 z + \bar{z} = 3 - i$ ，则 $z = 1 - i$ D、复数 $6 + 5 i$ 与 $- 3 + 4i$ 分分别对应向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B} ，$ 则向量 $\vec{B A}$ 表示的复数为 $9 + i$

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2、如图，某工程队将从A 到D 修建一条隧道，工程队从A 出发向正东行 $10 \sqrt{3} k m$ 到达B，然后从B向南偏西 $45 °$ 方向行了一段距离到达C，再从C 向北偏西 $75 °$ 方向行了 $4 \sqrt{2} k m$ 到达D. 已知C在A 南偏东 $15 °$ 方向上，则A 到D 修建隧道的距离为（）km.

A、 $2 \sqrt{78}$ B、 $2 \sqrt{53}$ C、 $2 \sqrt{38}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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3、已知 $m, n$ 为两条不同直线， $α$ ， $β$ 为两个不同平面，则下列说法正确的是（）

A、若直线 $m, n$ 与平面 $α$ 所成角相等，则 $m / / n$ B、若平面 $α$ 上有三个不同点到平面 $β$ 的距离相等，则 $α / / β$ C、若 $m$ 上有两个不同点到平面 $α$ 的距离相等，则 $m / / α$ D、若 $m \subset α, n \subset β, m / / β, n / / α$ ，且直线 $m, n$ 异面，则 $α / / β$

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4、以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为（）

A、 $2 π$ B、 $2 \sqrt{2} π$ C、 $4 π$ D、 $4 \sqrt{2} π$

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5、 $\cos \frac{5 π}{6} =$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | - 1 \leq x \leq 1\}$ ， $B = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、{2} B、 ${- 2, 2}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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7、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 6 \sqrt{2}$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $B C$ 边上的中点为 $M$ ，点 $N$ 是边 $A C$ 上的动点（不含端点）， $A M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ ．

(1)、求 $∠ B A M$ 的正弦值；

(2)、当点 $N$ 为 $A C$ 中点时，求 $∠ M P N$ 的余弦值．

(3)、当 $\vec{N A} \cdot \vec{N B}$ 取得最小值时，设 $\vec{B P} = λ \vec{B N}$ ，求 $λ$ 的值．

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8、已知平面四边形 $A B C D$ ， $A B = A D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $∠ B C D = 30 °$ ， $B D ⊥ C D$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 边折起，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，点 $P$ 为线段 $A D$ 的中点．

(1)、求证： $B P ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $M$ 为 $C D$ 的中点，求 $M P$ 与平面 $B P C$ 所成角的余弦值．

(3)、在（2）的条件下，求平面 $P B M$ 与平面 $B M D$ 所成二面角的余弦值．

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9、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c - a \cos B = \frac{\sqrt{3}}{3} a \sin B$

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (2, 3)$ ．

(1)、若 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{c} = (- 3, - 4)$ ， $\vec{b} / / (\vec{a} + \vec{c})$ ，求 $3 \vec{b} + \vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角的余弦值．

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11、已知 $|\vec{b}| = 3, \vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为.

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12、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $a = 1, b = 2, \cos C = \frac{1}{4}$ ，则 $\sin A =$ ．

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13、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{3}]$ C、 $A P / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、平面 $A_{1} C_{1} D$ 与底面 $A B C D$ 的交线平行于直线 $A C$

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14、设 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，其面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 周长为 $6 + \sqrt{7}$ B、 $A + B = 2 C$ C、 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $\frac{7}{3} π$ D、 $△ A B C$ 中线 $C D$ 长为 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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15、已知 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（）

A、 $z_{1} z_{2} = |z_{1} z_{2}|$ B、 $z_{1}^{2} < {|z_{2}|}^{2}$ C、 $z_{1} + z_{2} \in R$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$

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16、在 $△ A B C$ 中，若动点 $P$ 满足 ${\vec{A C}}^{2} + 2 \vec{C B} \cdot \vec{A P} = {\vec{A B}}^{2}$ ，则 $P$ 点的轨迹一定经过 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

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17、一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 $35 °$ 的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 $65 °$ ，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 $70 °$ ，那么B，C两点间的距离是（）

A、 $10 \sqrt{5}$ 海里 B、 $20 \sqrt{3}$ 海里 C、 $10 \sqrt{2}$ 海里 D、 $20 \sqrt{2}$ 海里

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18、已知 $△ A B C$ 内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{4 \sqrt{3}}$ ，则 $\cos C$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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19、已知 $a, b, c$ 是不同的直线， $α, β$ 是不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $a / / b, b \subset α$ ，则 $a / / α$ B、若 $a ⊥ b, a ⊥ c, b \subset α, c \subset α$ ，则 $a ⊥ α$ C、若 $α ⊥ β, α \cap β = a, b ⊥ a$ ，则 $b ⊥ α$ D、若 $a ⊥ α, a ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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20、如图，已知 $\overset{⃑}{A P} = \frac{4}{3} \overset{⃑}{A B}$ ，用 $\overset{⃑}{O A}, \overset{⃑}{O B}$ 表示 $\overset{⃑}{O P}$ ，则 $\overset{⃑}{O P}$ 等于 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} - \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ C、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ D、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} - \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$

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