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相关试卷

1、在平面内，若直线 $l$ 将多边形分为两部分，多边形在 $l$ 两侧的顶点到直线 $l$ 的距离之和相等，则称 $l$ 为多边形的一条“等线”，已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, E$ 的离心率为2，点 $P$ 为 $E$ 右支上一动点，直线 $m$ 与曲线 $E$ 相切于点 $P$ ，且与 $E$ 的渐近线交于 $A, B$ 两点，当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时，直线 $y = 1$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的等线.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $y = \sqrt{2} x$ 是四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的等线，求四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积；

(3)、设 $\vec{O G} = \frac{1}{3} \vec{O P}$ ，点 $G$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ，证明： $Γ$ 在点 $G$ 处的切线 $n$ 为 $△ A F_{1} F_{2}$ 的等线

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - \ln (x + m)$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $m \leq 2$ 时，求证 $f (x) > 0$ ．

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3、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增，在 $(\frac{2 π}{3}, π]$ 上单调递减，设 $(x_{0}, 0)$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称中心．

(1)、求 $x_{0}$ ；

(2)、记 $△ A B C$ 的角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c$ ，若 $cos A = cos x_{0}, b + c = 6$ ，求 $B C$ 边上的高 $A D$ 长的最大值．

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4、设数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正整数．

(1)、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{1}}{2^{1}} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{n - 1}}{2^{n - 1}} + \frac{a_{n}}{2^{n}} = n$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是递减数列，求公比 $q$ ．

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5、如图1，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 90^{\circ}, B C = 6, D ､ E$ 分别是 $A C, A B$ 上的点， $C D = B E = \sqrt{2}, O$ 为 $B C$ 的中点.将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，得到如图2所示的四棱锥 $A^{'} - B C D E$ ，其中 $A^{'} O = \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $A^{'} O ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $A^{'} C D$ 的距离.

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6、若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(lnx－x＋2－t)(1－t－x)≤0成立，则整数s的最大值为． (ln3≈1.099，ln4≈1.386)

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7、濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 $p$ ，第二年的增长率为 $q$ ，则我市这两年生产总值的年平均增长率为．

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8、已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，且 $f (x) - g (x) = x^{3} + x^{2} - 1$ ，则 $f (1) + g (1) =$ ．

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9、下面的结论中正确的是（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ C、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ，则 $a + b \geq 2$ D、若 $a > 2 b > 0$ ，则 $\frac{a^{4} + 4}{b (a - 2 b)} \geq 32$

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10、下列函数中，在区间 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增的函数是（）

A、y＝cos(x－ $\frac{π}{3}$ ) B、y＝ $\sqrt{3}$ sinx－cosx C、y＝sin(x＋ $\frac{π}{4}$ ) D、y＝|sin2x|

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11、已知a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则（）

A、a＜c＜b B、c＜b＜a C、b＜a＜c D、a＜b＜c

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{\ln (x + 1) - x}$ ，则 $y = f (x)$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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13、若 $a > b$ ，则（）

A、 $\ln a > \ln b$ B、 ${0.3}^{a} > {0.3}^{b}$ C、 $a^{3} - b^{3} > 0$ D、 $|a| - |b| > 0$

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14、设函数 $f (x)$ 的定义域为D，对于区间 $I = [a, b] (a < b, I \subseteq D)$ ，若满足以下两条性质之一，则称I为 $f (x)$ 的一个“Ω区间”.
性质1：对任意 $x \in I$ ，有 $f (x) \in I$ ；
性质2：对任意 $x \in I$ ，有 $f (x) \notin I$ .

(1)、分别判断区间 $[1, 4]$ 是否为下列两函数的“Ω区间”，并说明理由；
① $y = - x + 5$ ② $y = \frac{2}{x}$

(2)、若 $[0, 2]$ 是函数 $y = - x^{2} + 2 m x$ 的“Ω区间”，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $f (x)$ 在R 上单调递减，且 $f (x)$ 只能满足性质2. 求证：函数 $y = f (x) - x$ 在 R 上存在唯一的零点 $x_{0}$ .

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15、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) - 1 (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知常数 $λ \in R$ ， $n \in N^{*}$ ，且函数 $F (x) = f (x) - λ \sin x$ 在 $(0, n π)$ 内恰有2025个零点，求常数 $λ$ 与n的值．

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, E, F$ 分别为棱 $A_{1} C_{1}, B C$ 的中点.

(1)、求证： $C_{1} F / /$ 平面 $A B E$

(2)、求证：平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$

(3)、若 $A B = B C = A A_{1} = 2$ ，求二面角 $E - A B - C$ 的余弦值.

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17、数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在 $△ A B C$ 中，D 为BC的中点，则在 $△ A B D$ 中，有 $\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D}$ ，在 $△ A C D$ 中，有 $\vec{A D} = \vec{A C} + \vec{C D}$ ，两式相加得， $2 \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} + \vec{A C} + \vec{C D} .$ 因为 D 为 BC的中点，所以 $\vec{B D} + \vec{C D} = \vec{0}$ ，于是 $2 \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{A C} .$ 如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点.

(1)、如图乙，请用“算两次”的方法证明： $2 \vec{E F} = \vec{A B} + \vec{D C}$ ；

(2)、如图乙，若 $A B = 1, D C = 2, \vec{A B}$ 与 $\vec{D C}$ 的夹角为 $60 °$ ，求 $\vec{E F}$ 与 $\vec{A B}$ 的夹角的余弦值.

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18、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M为棱 $C C_{1}$ 的中点，记过点 $B_{1}$ 与AM垂直的平面为 $α$ ，平面 $α$ 将正方体分成两部分，体积较大的记为V大，另一部分的体积为 $V_{A}$ ，则 $\frac{V}{V_{A}} =$ .

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19、若 $- \frac{π}{4} < α < \frac{π}{4}$ 且 $c o s (\frac{π}{4} + α) = \frac{\sqrt{5}}{5} ，$ 则 $\tan (\frac{π}{4} + α) =$ ， $s i n (\frac{π}{4} - α) =$

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20、已知点 O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为 $(1, 2)$ ，点B的坐标为 $(4, 5)$ ，作 $A D ⊥ O B$ ，垂足为D，则下列结论正确的是（）

A、 $|\vec{A B}| = 3$ B、设 $\vec{O P} = m \vec{O A} + \vec{A B} ，$ 四边形OABP有可能是平行四边形 C、将 $\vec{O B}$ 绕 O逆时针旋转 $90 °$ 得到向量 $\vec{O B_{1}} ，$ 则 $B_{1}$ 的坐标为 $(- 5, 4)$ D、 $| \vec{A D} | = \frac{3 \sqrt{41}}{41}$

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