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相关试卷

1、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，平面 $A B_{1} E$ 将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（）

A、 $\frac{7}{15}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{7}{17}$

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2、如图，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 水平放置的正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, A B = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ，侧棱长为 $\sqrt{2}, P$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点.

(1)、求证： $A A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得平面 $A P C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{5 \sqrt{33}}{33}$ ？若存在，求出点 $P$ ；若不存在，请说明理由.

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3、设集合 $A_{i} = \{1, 2, 3, \dots, i\} (i \in N^{+})$ ，对于集合 $A_{i}$ 到集合 $A_{i}$ 的函数 $f : A_{i} \to A_{i}$ ，记其中满足 $f (f (x)) = x$ 的函数为“回函数”．对于任意给定的集合 $A_{i}$ ， “回函数”的个数记为 $a_{i}$ ．数列 $\{a_{n}\}$ 的第 $i$ 项为 $a_{i}$ ．例如 $A_{1} = \{1\}$ ， “回函数”仅有一个，即 $f (x) = 1$ ，满足 $f (f (1)) = f (1) = 1$ ，所以 $a_{1} = 1; A_{2} = \{1, 2\}$ ， “回函数”有两个，即 $f_{1} (x) = \{\begin{matrix} 1, x = 1 \\ 2, x = 2 \end{matrix}$ 和 $f_{2} (x) = \{\begin{matrix} 2, x = 1 \\ 1, x = 2 \end{matrix}$ ，这两个函数都能满足 $f (f (x)) = x$ ，所以 $a_{2} = 2$ ．

(1)、求 $a_{3}$ ；

(2)、当 $n \geq 2$ 时，给出 $a_{n + 1}, a_{n}$ 和 $a_{n - 1}$ 之间的关系式并证明；

(3)、证明： $n \geq 2$ 时， $a_{n} \geq 2 + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3}$ ．

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4、已知函数 $f (x) = x ln x - a$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) \geq k (x^{2} - 1) - a$ 恒成立，求实数 $k$ 的最小值；

(3)、证明： $x_{2} - x_{1} < \sqrt{1 + 2 a} - \frac{a^{2} e^{2}}{4}$ .

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5、四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2, P B ⊥ A D, ∠ P A B$ 为锐角．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}, P B = 2 \sqrt{6}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

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6、我们知道关于 $x, y$ 的二元一次方程表示直线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如 $x^{2} - y^{2} = 0$ 表示的就是 $x + y = 0$ 和 $x - y = 0$ 两条直线．

(1)、求方程 $(x - y + 2) (2 x + y + 1) = 0$ 表示的直线与 $y$ 轴围成的面积；

(2)、若方程 $x^{2} - y^{2} + a x + 2 y - 1 = 0$ 表示的是两条直线，求 $a$ ．

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7、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ．若 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} S = a^{2} - b^{2} + c^{2}$ ，

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $sin A + sin C = 1$ ，求 $sin (A + \frac{π}{6})$ 的值．

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8、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B$ 与 $P C$ 中点分别为 $M, N$ ，点 $G$ 为 $M N$ 中点．若 $D$ 在 $P A$ 上满足 $\vec{P D} = \frac{2}{3} \vec{P A}$ ， $E$ 在 $P B$ 上满足 $\vec{P E} = \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，平面 $D E G$ 交 $P C$ 于点 $F$ ，且 $\vec{P F} = λ \vec{P C}$ ，则 $λ =$ ．

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9、 $S_{n}$ 是等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{3} + S_{3} = 6, S_{3} = 3 a_{3}$ ，则 $a_{2} =$ ．

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10、若 $z (1 + i) = 1 - i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ ．

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11、在锐角三角形 $A B C$ 中， $A C = 1, ∠ A = \frac{π}{3}, △ A B C$ 外接圆的半径为 $R$ ，则（）

A、 $\frac{1}{2} < A B < 2$ B、 $0 < A B < \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} < R < 1$ D、 $\sqrt{3} - \frac{1}{2} < 2 B C - A B < 2 \sqrt{3} - 2$

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12、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d, \{b_{n}\}$ 的公比为 $q$ ， $a_{1} = b_{1} > 0$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $d > 0$ ，则 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 B、若 $q < 0$ ，则 $\{b_{n}\}$ 为递减数列 C、若 $q > 1 > d > 0$ ，则 $\{a_{n} b_{n}\}$ 为递增数列 D、若 $q > 1 > d > 0$ ，则 $\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\}$ 为递增数列

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13、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为1，下列结论正确的是（）

A、直线 $B C$ 与 $C_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ B、直线 $B_{1} C$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、点 $B$ 到直线 $A C_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面 $D B C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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14、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (2 x + 1)$ 为奇函数， $f (x) + f (x + 2) = 2 f (1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 3$ 对称 C、 $f (2 x)$ 的最小正周期为4 D、 $f (2 x)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 对称

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15、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A D = B D = 2, B C = C D = \sqrt{2}$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面 $C B D$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球表面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $\frac{16 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $3 π$

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16、已知 $sin (α + β) = \frac{1}{3}, cos α sin β = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{tan α}{tan β} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{3}{4}$ D、4

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17、已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{2} = a_{3}$ 且 $a_{1} a_{3} = a_{2}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} =$ （）

A、30 B、 $\frac{100}{3}$ C、 $\frac{110}{3}$ D、40

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18、直线 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 的倾斜角为 $θ$ ，则 $sin θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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19、已知集合 $A = \{x |- \frac{1}{2} \leq x \leq 1\}$ ， $B = \{x |x^{2} - \frac{1}{4} > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- \frac{1}{2}, 1\}$ B、 $\{1, \frac{1}{2}\}$ C、 $\{x |- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}\}$ D、 $\{x |\frac{1}{2} < x \leq 1\}$

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20、已知集合 $A = \{x ∣ 2^{x} - 3 x > 0\}, B = {0, 1, 2, 3, 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${0, 4}$ D、 ${3, 4}$

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