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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = k x + 2 (k < 0)$ ， $g (x) = \ln x$ ，若存在实数 $x_{1} \neq x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 且 $f (x_{2}) = g (x_{1})$ ，则实数 $k$ 的取值范围为.

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2、已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 和圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 = 0$ 的交点为 $A, B$ ，则下列说法正确的是（）

A、两圆的圆心距 $O_{1} O_{2} = \sqrt{2}$ B、直线 $A B$ 的方程为 $x - y - 1 = 0$ C、圆 $O_{2}$ 上存在两点 $P$ 和 $Q$ ，使得 $P Q > A B$ D、圆 $O_{1}$ 上的点到直线 $A B$ 的最大距离为 $2 + \sqrt{2}$

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3、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，直线 $(a - 1) x + y - 1 = 0$ 和 $x + 2 b y + 1 = 0$ 垂直，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $16$ B、 $8$ C、 $4$ D、 $2$

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4、已知动圆M和圆 $C_{1}$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 36$ 内切，并和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 外切，则动圆圆心M的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、焦点在 $x$ 轴上的椭圆 D、焦点在 $y$ 轴上的椭圆

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5、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (X > 1) = 0.7$ ，则 $P (2 < X < 3) =$ （）

A、0.7 B、0.6 C、0.4 D、0.2

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6、若 ${(2 x - 1)}^{4} = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0},$ 则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} =$ （）

A、 $- 40$ B、 $40$ C、 $41$ D、 $82$

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7、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，满足 $a_{n} + 2 T_{n} = 1$ （ $n \in N^{*}$ ），则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\frac{1011}{1012}$ B、 $\frac{1011}{1013}$ C、 $\frac{4047}{4049}$ D、 $\frac{4048}{4049}$

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8、已知函数 $f (x)$ 的图象与直线 $4 x - y - 4 = 0$ 相切于点 $(2, f (2))$ ，则 $f (2) + f^{'} (2)$ （）

A、4 B、8 C、0 D、-8

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9、已知复数 $z$ 满足 $z {(1 + i)}^{2} = 2 + 2 \sqrt{3} i$ ，则 $|z - 2 i| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、12

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $P$ 为直线 $y = 2$ 上一动点，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $M (- \sqrt{2}, 0)$ ， $N (\sqrt{2}, 0)$ ，上、下顶点分别为 $T (0, 1)$ ， $S (0, - 1)$ ．若直线 $P T$ 交 $E$ 于另一点 $A$ ，直线 $P S$ 交 $E$ 于另一点 $B$ ．

(1)、求证：直线 $A B$ 过定点，并求出定点坐标；

(2)、求四边形 $A S B T$ 面积的最大值．

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11、已知 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式的各项系数之和为（）

A、 $2^{6}$ B、 $2^{8}$ C、 $3^{6}$ D、 $3^{8}$

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12、函数 $f (x) = x - \frac{1}{2} e^{x}$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty, ln 2)$ B、 $(ln 2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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13、若 $1 + 2 i = (i - 2) (z - 1)$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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14、使式子 $\log_{(2 x - 1)} (2 - x)$ 有意义的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(\frac{1}{2}, 2 ）$ D、 $(\frac{1}{2}, 1) \cup (1, 2)$

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} ln x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的图象在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(3)、证明：对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，有 $f (x) \geq x - 1$ ；

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16、已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 可以为（）

A、 $f (x) = \frac{3 x}{2^{|x|}}$ B、 $f (x) = \frac{x}{2^{x} - 2^{- x}}$ C、 $f (x) = \frac{x}{2^{x}}$ D、 $f (x) = x \cdot 2^{|x|}$

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17、在平面直角坐标系中，若点 $P (x_{0}, y_{0})$ 满足 $x_{0}, y_{0}$ 都是整数，则称点 $P$ 为格点.

(1)、指出椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的所有格点；

(2)、设 $A, B$ 是抛物线 $y = x^{2}$ 上的两个不同的格点，且线段 $A B$ 的长度是正整数.求直线 $A B$ 的斜率的所有可能值；

(3)、设 $m (m \geq 3$ 且 $m \in N)$ 项的数列 $\{a_{n}\}$ 满足：点 $Q_{n} (a_{n}, a_{n + 1})$ 是函数 $y = \frac{b}{2} \sqrt{x^{2} - 4}$ 的图象上的格点 $(n = 1, 2, \dots, m - 1)$ .则是否存在正整数 $b$ ，使得数列 $\{a_{n}\}$ 为常数列；若存在，请求出正整数 $b$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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18、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，动点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 均在椭圆上， $O$ 是坐标原点，记 $O P$ 和 $O Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ； $△ O B P$ 与 $△ O A Q$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ .若 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，则 $S_{1} S_{2}$ 的最大值为.

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19、已知函数 $f (x) = ln \frac{2 x - 1}{x - 1} + a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、若 $0 < a \leq \frac{1}{3}$ ， $x \in [\frac{3}{2}, 2]$ ，证明： $f (x) < 2$ ；

(3)、若 $x > 1$ ，恒有 $f (x) \geq 2 ln 2 + \frac{3}{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、在 ${(1 - 2 x)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中， $x$ 的系数为 $- 10$ ，则 $n =$ .

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