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相关试卷

1、下列哪一组中的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一个函数（）

A、 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \geq 0, \\ - 1, x < 0 \end{array}$ B、 $f (x) = x^{0}$ ， $g (x) = 1$ C、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x}$ ， $g (x) = \frac{x}{x^{2}}$

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2、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $x + |x| \geq 0$ ，则其否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + |x| < 0$ B、 $\exists x \in Z$ ， $x + |x| < 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x + |x| < 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x + |x| \leq 0$

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3、已知全集 $U = {x \in N ∣ x < 9}$ ，集合 $A = {1, 2, 3}$ ，集合 $B = {0, 4, 5, 6}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B$ 等于（）

A、 ${3}$ B、 ${7, 8}$ C、 ${4, 5, 6}$ D、 ${4, 5, 6, 0}$

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4、已知 $f (x) = e^{x} \cdot sin x - x$ .

(1)、若 $g (x) = \frac{2 - 2 x - f (x)}{e^{x}} (0 < x < \frac{π}{2})$ ，证明： $g (x)$ 存在唯一零点；

(2)、当 $x \in (- \infty, π)$ 时，讨论 $f (x)$ 零点个数.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\sin C - \sqrt{3} \sin B}{\sin A + \sin B} = \frac{a - b}{c}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $2 \sin A \sin B = 1 + \cos C$ ， $△ A B C$ 外接圆半径为2， $∠ B A C$ 的角平分线与 $B C$ 交于点 $D$ .求 $A D$ 的长.

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6、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > c > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，若以 $F_{2}$ 为圆心， $b - c$ 为半径作圆 $F_{2}$ ，过椭圆上一点 $P$ 作此圆的切线，切点为 $T$ ，且 $|P T|$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2} (a - c)$ ，则椭圆的离心率 $e$ 是.

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7、关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - x + 1 < 0$ 的解集为 $\{x |a < x < b\}$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{4}{b - 1}$ 的最小值为.

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8、若函数 $f (x) = \frac{1}{2} f^{'} (- 1) x^{2} - 2 x + 1$ ，则 $f^{'} (- 1) =$ .

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9、若数列 $\{F_{n}\}$ 满足 $F_{1} = F_{2} = 1$ ， $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n} (n \in N^{*})$ ，设 $a_{n} = {(- 1)}^{F_{n} F_{n + 1}}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 1$ B、 $a_{2024} + a_{2025} = 2$ C、 $a_{n} = a_{n + 3}$ D、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为30，则 $n = 90$ 或 $n = 92$

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10、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{2 π}{3}, 0)$ 对称 C、将函数 $y = 2 cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位得到函数 $f (x)$ 的图象 D、若方程 $f (x) = m$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有且只有一个实数根，则 $m$ 的取值范围是 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

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11、已知 $M N$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 的一条弦， $∠ M O N = 60 °$ ， $P$ 是 $M N$ 的中点.当弦 $M N$ 在圆 $O$ 上运动时，直线 $l : y = x - 4$ 上总存在两点 $A$ ， $B$ ，使得 $∠ A P B$ 为钝角，则 $|A B|$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})$ B、 $(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $(0, 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})$ D、 $(4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}, + \infty)$

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12、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为 $\sqrt{3}$ ，高为 $2 \sqrt{3}$ ，则该正三棱柱的外接球的体积为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\sqrt{6} π$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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13、将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（）种.

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $8$

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14、已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点， $|F_{1} F_{2}| = 4$ ，点 $Q (2, \sqrt{2})$ 在椭圆 $C$ 上， $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，则 $\vec{P Q} \cdot \vec{P F_{1}}$ 的最大值为（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、 $4 + \sqrt{2}$

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15、“ $b \leq 1$ ”是“函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} b x + 2, x > 0, \\ \log_{2} (x + 2) + b, - 2 < x \leq 0 \end{array}$ 是在 $(- 2, + \infty)$ 上的单调函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知函数 $f (x) = a {(\frac{1}{2})}^{|x|} + b$ .

(1)、若 $a = 1, b = 0$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若该函数图象过原点，且无限接近直线 $y = 2$ 但又不与该直线相交，求函数 $f (x)$ 的解析式并写出其单调性（写出即可，不用证明）；

(3)、若 $a = 1, b = 0, g (x) = \frac{1}{f (x)} - f (x)$ ，且 $2^{t} g (2 t) + m g (t) \geq 0$ 对于任意的 $t \in [1, 2]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = \ln (2 - x) + \ln (2 + x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 奇偶性，并加以证明；

(3)、若 $f (2 m + 1) < \ln 3$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x - \frac{π}{4})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的值域；

(3)、若当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = m (m \in R)$ 有2个交点，求实数 $m$ 的取值.

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19、（1）已知 $2^{a} = 3^{b} = m, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，求 $m$ 的值；
（2）已知 $tan α = 2$ ，计算 $\frac{{sin}^{2} α}{1 + {cos}^{2} α}$ 的值；
（3）计算 ${log}_{2} 3^{2024} - {log}_{2} {(\frac{3}{2})}^{2024}$ 的值.

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20、已知非空集合 $A = \{x ∣ 1 + a \leq x \leq 1 - 2 a\}, B = \{x ∣ x^{2} + 3 x + 2 \geq 0\}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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