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相关试卷

1、现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第 $80$ 百分位数与中位数分别是（）

A、4，6 B、5，4 C、6，4 D、6，5

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2、设不等式 $x^{2} + 3 x \leq 10$ 的解集为 $M$ ，则（）

A、 $\sqrt{3} \in M$ B、 $- 6 \in M$ C、 $1 \notin M$ D、 $\sqrt{6} \in M$

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3、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 0, b_{n + 1} = 2 b_{n} + n - 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明：数列 $\{b_{n} + n\}$ 为等比数列；

(3)、求数列 $\{(n + b_{n}) \cdot a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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4、已知集合 $A = {(x, y) ∣ y = 2 a x}, B = {(x, y) ∣ y = a x - b}, A \cap B = {(1, 3)}$ ，则 $b =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5、为了得到函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上所有的点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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6、已知 $a = ln \frac{5}{2}, b = \frac{3}{2}, c = {log}_{2} 3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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7、已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{1}{2} k x^{2} - x$ （ $k$ 为常数，且 $k \geq 0$ ）．

(1)、当 $k = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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8、已知函数 $f (x) = ln x + a x^{2} - (a + 2) x + 2 a$ .

(1)、若 $a > 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = - 1$ 时，方程 $f (x) = - \frac{7}{2}$ 的两个不同实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 1$ .

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $M (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是 $C$ 上的点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $A, B$ 为 $C$ 的左、右顶点，过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（不与点 $A, B$ 重合）.
（i）求 $S_{△ A P Q}$ 的最大值；
（ii）记 $A P, B Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + n a_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $m \in R$ ，若对任意 $n \in N^{*}$ 使得 $m > \frac{1}{a_{1}} + \frac{3}{a_{2}} + \frac{5}{a_{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ 恒成立，求 $m$ 的最小值.

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11、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 满足 $A B ⊥ B C$ ， $A D ∥ B C$ ， $S A = A D = 2$ ， $A B = B E = \frac{1}{2} E C = 1$ .

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $S A E$ ；

(2)、求平面 $S B C$ 与平面 $S C D$ 的夹角的余弦值.

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12、已知直线 $l_{1} : x - 3 y - 1 = 0$ ， $l_{2} : (a - 2) x - a y + 2 = 0$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ .

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l_{2}$ 被圆 $C$ 截得的弦长为8，求 $a$ 的值.

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $sin ∠ A F_{1} F_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $|F_{2} A| = |F_{2} B|$ ，则双曲线的离心率为.

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14、已知圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 6 = 0$ 相切，则 $r =$

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15、已知曲线 $C$ 的方程为： $\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1, y \geq 0 \\ \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1, y < 0 \end{array}$ ，倾斜角为 $θ_{1} (θ_{1} \in (0, \frac{π}{2}))$ 的直线经过点 $A (- 1, 0)$ ，且与 $C$ 恰有两个交点M，N（点 $M$ 在 $x$ 轴上方），记过点 $M$ 和 $B (1, 0)$ 的直线倾斜角为 $θ_{2}$ ，则（）

A、 $tan θ_{1} \in (0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $sin θ_{1} + sin θ_{2} = \sqrt{2} sin (θ_{2} - θ_{1})$ C、当平面 $M A B$ 沿直线 $A B$ 折起，使二面角 $M - A B - N$ 为直二面角时，点 $M$ 到平面 $A B N$ 的最大距离为1 D、当平面 $M A B$ 沿直线 $A B$ 折起，使 $M B ⊥$ 平面 $N A B$ 时，点 $B$ 到平面 $A M N$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{34} - \sqrt{17}}{17}$

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16、已知公差不为零的两个等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ ，记它们的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，则（）

A、当 $S_{5} = S_{10}$ 时， $a_{8} = 0$ B、当 $a_{7} > 0$ ，且 $S_{6} > S_{8}$ 时，数列 $\{S_{n}\}$ 的前14项均是正数 C、当 $T_{15} = 5 (b_{3} + b_{5} + b_{k})$ 时， $k = 16$ D、当 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n + 3}{2 n - 1}$ 时， $\frac{a_{7}}{b_{5}} = \frac{16}{17}$

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17、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a \sqrt{x}$ ，则（）

A、 $f^{'} (x) = 2 x - \frac{a}{\sqrt{x}}$ B、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = x - 2$ C、当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 有最大值 D、当函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递减时， $a \geq 2$

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 102$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 b_{n}$ ，其中 $b_{n}$ 等于 $a_{n}$ 的个位数，则 $a_{2026} =$ （）

A、20342 B、20346 C、20358 D、20374

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19、已知点 $M (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ 关于直线 $y = tan θ \cdot x (0 < θ < \frac{π}{2})$ 对称的点在圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 上，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{5π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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20、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C = B C = C P = \sqrt{2} A P$ ， $∠ A P B = 90 °$ ，则直线 $A C$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{37}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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