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相关试卷

1、在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = \frac{3}{4} A_{1} B_{1} = 3 \sqrt{2}$ ，且 $A A_{1} = \sqrt{2}$ ，记能将正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 罩住的半球的最小半径为 $R_{1}$ ，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的半径为 $R_{2}$ ，则 $\frac{R_{2}}{R_{1}} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、1 C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}} + 1}{x + 2}$ 的值域是 $[a, b]$ ，则 $b - a =$ （）

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、2

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $a^{2} + b^{2} = 4$ ，且 $a^{2} + b^{2} = c^{2} + a b$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = - 4$ ，则（）

A、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} + 2$ B、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} + 4$ C、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} - 2$ D、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} - 4$

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5、若 $tan (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}$ ，则 $tan α =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{12}$

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6、现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第 $80$ 百分位数与中位数分别是（）

A、4，6 B、5，4 C、6，4 D、6，5

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7、设不等式 $x^{2} + 3 x \leq 10$ 的解集为 $M$ ，则（）

A、 $\sqrt{3} \in M$ B、 $- 6 \in M$ C、 $1 \notin M$ D、 $\sqrt{6} \in M$

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8、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 0, b_{n + 1} = 2 b_{n} + n - 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明：数列 $\{b_{n} + n\}$ 为等比数列；

(3)、求数列 $\{(n + b_{n}) \cdot a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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9、已知集合 $A = {(x, y) ∣ y = 2 a x}, B = {(x, y) ∣ y = a x - b}, A \cap B = {(1, 3)}$ ，则 $b =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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10、为了得到函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上所有的点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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11、已知 $a = ln \frac{5}{2}, b = \frac{3}{2}, c = {log}_{2} 3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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12、已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{1}{2} k x^{2} - x$ （ $k$ 为常数，且 $k \geq 0$ ）．

(1)、当 $k = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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13、直线 $4 x - 3 y + 1 = 0$ 的一个方向向量是（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(- 3, 4)$ C、 $(- 4, 3)$ D、 $(4, 3)$

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14、苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（）种分配方案

A、90 B、120 C、360 D、540

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15、“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 $\frac{2 π}{3}$ .已知点P为 $△ A B C$ 的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b \cos C + \sqrt{3} b \sin C = a + c$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $b^{2} = {(a - c)}^{2} + 6$ ，求 $P A \cdot P B + P B \cdot P C + P A \cdot P C$ 的值；

(3)、若 $A C ⊥ B C$ ， $P A + P B = λ P C$ ，求实数 $λ$ 的最小值.

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = \frac{1}{2} + m$ 在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{3}]$ 上有相异两解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
①求实数m的取值范围；
②当 $t = x_{1} + x_{2}$ 时，函数 $g (t) = a \sin t + b \cos t (a b \neq 0)$ 取最大值，设 $\cos θ = \frac{b}{a}$ ，求 $\cos 3 θ$ .

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17、如图，在平面四边形ABCD中， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = ∠ D A C$ ， $C D = 5$ ， $A B = 2$ .

(1)、求线段AC的长度；

(2)、求 $\sin ∠ A D C$ 的值.

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18、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, 2)$ .

(1)、若 $|\vec{c}| = 5$ ，且 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量（用坐标表示）.

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19、已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos (α + β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，其中 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $\tan 2 α$ ；

(2)、求 $β$ .

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20、在非钝角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是 $△ A B C$ 的重心且 $4 - \cos 2 A = 3 \sqrt{3} \sin (B + C)$ ，则角 $A =$ ；若 $b = 4$ ， $A P = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ，则 $c =$ .

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