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相关试卷

1、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ， D为棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $A D = 2 \sqrt{5}$ ．

(1)、证明： $A_{1} B_{1} ⊥ B D$ ；

(2)、求平面ABD与平面 $B_{1} B C C_{1}$ 夹角的余弦值．

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2、固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表：
循环寿命x（千次）
$[2, 3)$
$[3, 4)$
$[4, 5)$
$[5, 6)$
$[6, 7)$
组数y
5
15
a
b
5
已知循环寿命x（千次）的平均值 $\bar{x} = 4.5$ （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．

(1)、求a，b的值；

(2)、根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的值，用样本标准差s的估计值作为 $σ$ 的值．
（ⅰ）若规定：循环寿命 $x \in [5.2, 5.9]$ 的电池为一等品； $x > 5.9$ 的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）；
（ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由．
参考数据：若随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq ξ \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq ξ \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ．

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3、已知函数 $f (x) = a x e^{x} - \ln x + \ln a - x^{2} + x$ 的值域为D，集合 $A = \{x \in R |x \leq 0\}$ ，若 $A \cap D \neq \emptyset$ ，则实数a的最大值为．

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4、将圆周率 $π$ 的近似值 $T = 3.14159$ 的各个数位上的数字重新排列后得到5位小数M（包括T），则 $M < T$ 的概率为．

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5、已知直线 $y = \frac{p}{2}$ 与抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 相交于A，B两点，D为抛物线的准线与y轴的交点，若 $△ A D B$ 的面积为4，则 $p =$ ．

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6、超椭圆（superellipse）也称为Lamé曲线，是一种类似于椭圆的封闭曲线，保留了椭圆的长轴、短轴、对称性等特点．超椭圆在平面直角坐标系中的方程为 $\frac{x^{m}}{a^{m}} + \frac{y^{m}}{b^{m}} = 1$ （ $m > 0$ ， $a > 0$ ， $b > 0$ ），当 $a = b$ ， $m = \frac{2}{3}$ 时，该超椭圆即为著名的“星形线”，记为曲线C（如图），已知点 $A (\frac{1}{8}, \frac{3 \sqrt{3}}{8})$ 在曲线C上，O为坐标原点，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为曲线C上任意一点．则下列结论正确的是（）

A、 $a = b = 1$ B、 $|x_{0} y_{0}|$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ C、 $|O P|$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、直线 $y = - \sqrt{3} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 与曲线C恰有3个公共点

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7、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}$ ，底面 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上的动点，且 $\frac{C_{1} M}{C_{1} D_{1}} = \frac{B N}{B D} = k (0 < k < 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $M - A_{1} B_{1} N$ 的体积为 $\frac{32}{3}$ B、 $M N //$ 平面 $A_{1} A D D_{1}$ C、存在实数 $k$ ，使得 $M N ⊥ A_{1} C$ D、若直线 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则 $k = \frac{1}{4}$

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8、已知复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = x + y i$ （ $x, y \in R$ ），则下列结论正确的是（）

A、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = 1 - i$ ，则 $z_{2}$ 为纯虚数 B、若 $\bar{z_{2} - z_{1}} = 2 z_{1}$ ，则 $z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第一象限 C、若 $|z_{2} - z_{1}| = 1$ ，则 $3 - 2 \sqrt{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq 3 + 2 \sqrt{2}$ D、若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为方程 $x^{2} + a x + b = 0$ （ $a, b \in R$ ）的两虚根，则 $a = b = 2$

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9、在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $2 b \sin \frac{B + C}{2} = \sqrt{5} a \sin (A + C)$ ，则 $\frac{c}{b}$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{2}{5}, \frac{4}{3})$ B、 $(\frac{2}{5}, \frac{5}{3}]$ C、 $[\frac{3}{5}, \frac{4}{3})$ D、 $(\frac{3}{5}, \frac{5}{3})$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n + 1}{2 a_{n} + n}$ ，记数列 $\{a_{n} - a_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2025} =$ （）

A、 $\frac{2025}{4051}$ B、 $\frac{2024}{4049}$ C、 $\frac{2026}{4051}$ D、 $\frac{2025}{4049}$

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11、若圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $O_{2} : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 9$ （a， $b \in R$ ）有且仅有一条公切线，则从点 $O_{2} (a, b)$ 到圆 $O_{1}$ 的切线长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12、若函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的最小正周期为 $π$ ，其图象的一条对称轴的方程为 $x = \frac{π}{3}$ ，则函数 $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 上的零点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、已知随机事件A，B发生的概率分别为 $P (A)$ ， $P (B)$ ，且 $P (\bar{A}) P (B) \neq 0$ ，则“ $P (\bar{A} |B) = P (B |\bar{A})$ ”是“ $P (A) + P (B) = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x > 0 \\ - a^{x}, x < 0 \end{array}$ $(a \in R)$ 为奇函数，则 $f (a) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 2, m)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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16、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x \in Z |2 \leq x^{3} \leq 28\}$ ， $B = \{x \in Z |\sqrt{x} \leq 2\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\{1, 4\}$ B、 $\{0, 1, 4\}$ C、 $\{0, 1, 2, 4\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$

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17、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1 ， O$ 为坐标原点，过 $C_{1}$ 上任意一点 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} \cdot y_{0} \neq 0)$ 作圆 $C_{1}$ 的切线 $l$ .

(1)、若 $l$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 y^{2}}{4} = 1$ 相交于 $A, B$ 两点，证明： $O A ⊥ O B$ ；

(2)、若 $l$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 相交于 $A, B$ 两点，恒有 $O A ⊥ O B$ ，判断 $C_{2}$ 是否过定点？请说明理由.

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18、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = \frac{1}{4}, S_{n} + \frac{1}{2^{n}} = a_{n} cos n π$ ．

(1)、求 $a_{3}$ 和 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{\frac{1}{|a_{n}|}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{8} - \frac{1}{8} \times \frac{1}{4^{n}} < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{T_{2 k}} < \frac{1}{6}$ ．

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19、“村BA”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 50名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生

20

女生
15

合计

100

(1)、根据所给数据完成上表，依据α=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关?

(2)、社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，这名女生进球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3 人进球总次数X的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} .$
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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20、已知抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $y = \frac{- 1}{x}$ 相交于点 $R (x_{0}, y_{0})$ ．

(1)、若 $y_{0} = - 2$ ，求抛物线 $C_{1}$ 的准线方程；

(2)、记直线l： $y = k x + b$ 与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别切于点M、N，当p变化时，求证： $△ R M N$ 的面积为定值，并求出该定值．

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循环寿命x（千次）	$[2, 3)$	$[3, 4)$	$[4, 5)$	$[5, 6)$	$[6, 7)$
组数y	5	15	a	b	5

	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男生		20
女生	15
合计			100

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
x	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828