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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $cos C (a cos B + b cos A) = \frac{\sqrt{3}}{2} c$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $C D = 2 ， B D = A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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2、已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于； $A$ 为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点 $A$ 出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点 $A$ ，则爬行的最短距离为．

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3、在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ， $A C$ 的中垂线交 $B C$ 于点 $M$ ，则 $△ A B M$ 的面积的最大值是．

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4、2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有种．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $0 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n} (n \geq 3)$ ，定义：集合 $M = \{(a_{i}, a_{j}) ∣ i < j, \exists p, q$ ，使得 $a_{j} - a_{i} = \frac{1}{2} (a_{q} - a_{p})\}$ ，并记该集合的元素个数为 $|M|$ ，则以下说法正确的是（）

A、若 $a_{n} = 2^{n - 1} (1 \leq n \leq 3)$ ，则 $|M| = 2$ B、若 $a_{n} = 2 n - 1 (1 \leq n \leq 4)$ ，则 $|M| = 3$ C、存在数列 $\{a_{n}\}$ ，其中有一项 $a_{i} (2 \leq i \leq n - 1)$ 能使得 $(a_{1}, a_{i}) \in M$ 且 $(a_{i}, a_{n}) \in M$ D、若任取数列 $\{a_{n}\}$ 的两项 $a_{i}, a_{j} (i < j)$ ， $(a_{i}, a_{j})$ 恰好是 $M$ 元素的概率大于 $\frac{4}{5}$ ，则 $n > 8$

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6、抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，事件 $M = \{1, 2\}$ ，事件 $N = \{2, 3, 4\}$ ，则（）

A、 $M$ 与 $N$ 是互斥事件 B、 $M$ 与 $N$ 是相互独立事件 C、 $P (M ∣ N) = P (N ∣ M)$ D、 $P (\bar{M} N) + P (M \bar{N}) = \frac{1}{2}$

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7、已知函数 $f (x) = sin x (cos x + a sin x)$ ，则存在实数 $a$ ，使得（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的最大值为0

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8、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 在第二象限且在双曲线的渐近线上， $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，线段 $P F_{2}$ 的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（）

A、 $4$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2$

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall x ， y \in R$ ， $f (x) f (y) = f (x + y)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = - \frac{1}{2}$ C、 $f (x + 1) < f (x)$ D、 $f (x + 2) - f (x + 1) < f (x + 1) - f (x)$

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10、已知 $tan (θ + \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $tan θ =$ （）

A、3 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 有公共点，则 $r$ 的取值范围为（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[2, 4]$ C、 $[3, 4]$ D、 $[1, 4]$

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12、已知 $\bar{z}$ 是复数 $z$ 的共轭复数， $\bar{z} \cdot i = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $-i$ C、1 D、 $- 1$

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13、已知集合 $A = \{- 1, 1, 2, 3\} ， B = \{x |ln x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 1, 2\}$

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14、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 都是单位向量，夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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15、设各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{4} \cdot a_{10} = 2 a_{8}$ ，则 ${log}_{2} (a_{1} a_{2} \dots a_{10} a_{11})$ 等于（）

A、 $2^{10}$ B、 $2^{11}$ C、11 D、10

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16、某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习W；每次学习W后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习S.设 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ 分别表示第n次学习后接着学习技能Y，S，W的概率.

(1)、若机器人仅进行三次学习，求学习技能Y次数的分布列及其数学期望；

(2)、求 $a_{n}$ 及其最大值；

(3)、已知 $x_{n} = |5 a_{n} - 1| \cdot 2^{n - 1}$ ， $y_{n} = 2 + 4 + \dots + 2 n$ ， $z_{n} = \{\begin{array}{l} \sqrt{2}, (n = 1), \\ \sqrt{y_{n}} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}) + (\sqrt{y_{1}} + \sqrt{y_{2}} + \dots + \sqrt{y_{n}}) x_{n}, (n \geq 2) . \end{array}$
若数列 $\{z_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < n (n + 2)$ .

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - (1 + a) x + ln x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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18、定义：若对 $\forall n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ，都有 $|b_{n} - b_{n - 1}| = j$ （j为常数，且 $j > 0$ ），则称数列 $\{b_{n}\}$ 为“绝对等差数列”，常数j为数列 $\{b_{n}\}$ 的“绝对公差”．已知“绝对公差”数列 $\{a_{n}\}$ 所有项的和为E．

(1)、若 $j = 1$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{4} = 1$ ，请写出有序实数对 $(a_{2}, a_{3})$ 的所有取值；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 共有259项，且 $j = 3$ ， $a_{1} = 211$ ， $a_{259} = 985$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(3)、若j为奇数，数列 $\{a_{n}\}$ 共有2k（ $k \in N^{*}$ ， $k \geq 2$ ）项，且 $a_{1} = 0$ ， $E = 0$ ．证明：k为偶数，并写出一个符合条件的数列 $\{a_{n}\}$ ．

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19、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点 $B (2, 1)$ ．

(1)、求双曲线E的方程；

(2)、是否存在直线l，使得 $△ A B P$ 与 $△ A B Q$ 的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；

(3)、若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明： $|\vec{A M} + \vec{A N}|$ 为定值．

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20、已知函数 $f (x) = e^{x} - \cos x - (2 a + 2) x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若对 $\forall x \geq 0$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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