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相关试卷

1、两名足球门将甲和乙正在进行扑点球训练.已知甲、乙每次扑中的概率分别是 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{3}{5}$ ，每次扑点球相互独立，互不影响.

(1)、甲扑点球两次，乙扑点球一次，记两人扑中次数的和为 $X$ ，试求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望（用最简分数表示）；

(2)、乙扑点球6次，其扑中次数为 $ξ$ ，试求 $ξ = 4$ 的概率和随机变量 $ξ$ 的方差（用最简分数表示）.

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2、已知关于 $x$ 的不等式 $x ln x + e^{- x} \geq - x^{2} + a x$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立（其中 $e$ 为自然对数的底数），则实数 $a$ 的取值范围为.

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3、甲乙丙丁戊5个人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相邻，则共有种不同的排法.

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4、随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ， $P (x \leq 0) = 0.12$ ，则 $P (1 \leq x \leq 2) =$ .

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{4^{n} - 3}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 与数列 $\{4^{n} a_{n} a_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $R_{n}$ ， $T_{n}$ ，则（）

A、 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < \frac{1}{4}$ B、存在 $n$ ，使得 $T_{n} > \frac{1}{3}$ C、 $S_{n} < \frac{43}{39}$ D、 $R_{n} \geq 6 n^{2} - 5 n$

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6、已知点 $P (1, a)$ 不在函数 $f (x) = e^{x}$ （ $e$ 为自然对数的底数）图象上，且过点 $P$ 能作两条直线与 $f (x)$ 的图象相切，则 $a$ 的取值可以是（）

A、 $e$ B、 $\frac{e}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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7、已知双曲线 $C$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $B$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，满足 $|P A| = \sqrt{3}$ ， $|P B| = 1$ ， $|A B| = 2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 2$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{2} + 2$ D、2

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ，且满足 $S_{n} + \frac{1}{S_{n}} + 2 = a_{n} (n \geq 2)$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、 $- \frac{9}{10}$ B、 $- \frac{10}{9}$ C、 $- \frac{10}{11}$ D、 $- \frac{11}{10}$

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9、已知 $m$ 为满足 $S = n + C_{100}^{2} + C_{100}^{4} + C_{100}^{6} + \cdot \cdot \cdot + C_{100}^{100} (n \geq 3)$ 能被 $9$ 整除的正整数 $n$ 的最小值，则 ${(x - \frac{1}{x})}^{m}$ 的展开式中，系数最大的项为（）

A、第6项 B、第7项 C、第11项 D、第6项和第7项

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10、棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，点 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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11、在平面直角坐标系中，已知两点 $A (1, 1)$ ， $B (- 1, - 1)$ ，点 $P$ 为动点，且直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + 2 y^{2} = 3$ B、 $x^{2} + 2 y^{2} = 3 (x \neq \pm 1)$ C、 $x^{2} - 2 y^{2} = 3 (x \neq \pm 1)$ D、 $2 x^{2} + y^{2} = 3 (x \neq \pm 1)$

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12、已知点 $A$ 为曲线 $y = ln x + \frac{1}{x} + 3$ 上的动点， $B$ 为圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则线段 $A B$ 长度的最小值是（）

A、3 B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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13、如下表给出5组数据 $(x, y)$ ，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据 $(5, 3)$ ，则应去掉（）
$i$
1
2
3
4
5
$x_{i}$
5
4
3
2
$- 4$
$y_{i}$
3
2
7
1
$- 6$

A、 $(4, 2)$ B、 $(3, 7)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(- 4, - 6)$

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14、已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15、牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程 $f (x) = 0$ 的其中一个根r在 $x = x_{0}$ 的附近，如图6所示，然后在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处作 $f (x)$ 的切线，切线与x轴交点的横坐标就是 $x_{1}$ ，用 $x_{1}$ 代替 $x_{0}$ 重复上面的过程得到 $x_{2}$ ；一直继续下去，得到 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ .从图形上我们可以看到 $x_{1}$ 较 $x_{0}$ 接近r， $x_{2}$ 较 $x_{1}$ 接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求 $x_{n}$ ，若设精度为 $ε$ ，则把首次满足 $|x_{n} - x_{n - 1}| < ε$ 的 $x_{n}$ 称为r的近似解.
已知函数 $f (x) = x^{3} - x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、试用牛顿迭代法求方程 $f (x) = 0$ 满足精度 $ε = 0 .5$ 的近似解（取 $x_{0} = - 1$ ，且结果保留小数点后第二位）；

(2)、若 $f (x) + 3 x^{2} + 6 x + 5 + a e^{x} \leq 0$ 对任意 $x \in R$ 都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值： $e \approx 2.72$ ， $e^{1.35} \approx 3.86$ ， $e^{1.5} \approx 4.48$ ， ${1.35}^{3} \approx 2.46$ ， ${1.35}^{2} \approx 1.82$ ）

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16、将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标 $x_{i}$ 和区域内该植物分布的数量 $y_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，…，15），得到数组 $(x_{i}, y_{i})$ ．已知 $\sum_{i = 1}^{15} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 45$ ， $\sum_{i = 1}^{15} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 8000$ ， $\sum_{i = 1}^{15} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 480$ ．

(1)、求样本 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2…，15）的相关系数；

(2)、假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的 $k \in N^{*}$ ，寿命为 $k + 1$ 的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求 $P (X = k)$ （ $k \in N^{*}$ ）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望 $E (X)$ 的值．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

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17、2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为 $(495, 505]$ ， $(505, 515]$ ， …， $(535, 545]$ ，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)、根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值 $\bar{x}$ ；

(2)、由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, {1.25}^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为（1）中的样本平均值 $\bar{x}$ ，计算该批产品质量指标值 $ξ \geq 519.75$ 的概率；

(3)、从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望.
附：若 $ξ \sim N (x, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq u + σ) \approx 0.6827$ ，
$P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

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18、若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第 $n (n \in N^{*})$ 次得到的数列的所有项之和记为 $a_{n}$ .

(1)、设第 $n$ 次构造后得的数列为 $1, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{λ}, 2$ ，则 $a_{n} = 3 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k}$ ，请用含 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ 的代数式表达出 $a_{n + 1}$ ，并推导出 $a_{n + 1}$ 与 $a_{n}$ 满足的关系式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(3)、证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < \frac{1}{3}$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (x + 1) e^{x}, x \leq 0 \\ \frac{ln x}{x}, x > 0 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f^{2} (x) - (a + 2) f (x) + 2 a$ ，若函数 $g (x)$ 恰有三个零点，则 $a$ 的取值范围是.

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20、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{n + 2} = (1 + {cos}^{2} \frac{n π}{2}) a_{n} + {sin}^{2} \frac{n π}{2}, n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot$ ．前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{20} =$ ．

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$i$	1	2	3	4	5
$x_{i}$	5	4	3	2	$- 4$
$y_{i}$	3	2	7	1	$- 6$