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相关试卷

1、在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2, ∠ B A D = 60^{\circ}$ ，以 $A B$ 为轴将菱形 $A B C D$ 翻折到菱形 $A B C_{1} D_{1}$ ，使得平面 $A B C_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $E$ 为边 $B C_{1}$ 的中点，连接 $C E, D D_{1}$ .

(1)、求证： $C E$ $∥$ 平面 $A D D_{1}$ ；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $B D D_{1}$ 所成角的正弦值.

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ 为 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P, Q, R$ 在椭圆 $C$ 上， $P Q ⊥ x$ 轴.点 $M, N$ 满足 $\vec{R M} = \vec{M P}, \vec{P N} = 2 \vec{N Q}$ .若直线 $M Q$ 与 $N R$ 的交点在 $x$ 轴上，则 $d (R, Q)$ 的最大值为.

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3、已知集合 $P = \{(x, y) | x^{4} + a x - 2024 = 0$ 且 $x y = 2024\}$ ，若 $P$ 中的点均在直线 $y = 2024 x$ 的同一侧，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 2023) \cup (2023, + \infty)$ B、 $(2023, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2024) \cup (2024, + \infty)$ D、 $(2024, + \infty)$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = λ n^{2} - n$ ，对任意 $n \in \{1, 2, 3\}$ 都有 $a_{n} > a_{n + 1}$ ，且对任意 $n \in \{n |n \geq 7, n \in N\}$ 都有 $a_{n} < a_{n + 1}$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{14}, \frac{1}{8}]$ B、 $(\frac{1}{14}, \frac{1}{7})$ C、 $(\frac{1}{15}, \frac{1}{7})$ D、 $(\frac{1}{15}, \frac{1}{8}]$

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5、海宁一中高一生劳课上，朱老师组织学生在寝室楼下的荒地上种菜.如图，在一条直路边上有相距 $10 \sqrt{3}$ 米的A、B两定点，路的一侧是荒地，朱老师用三块长度均为10米的篱笆（不能弯折），将荒地围成一块四边形地块 $A B C D$ （直路不需要围），经开垦后计划在三角形地块 $A B D$ 和三角形地块 $B C D$ 分别种植青菜、萝卜两种作物.已知两种作物的收益都与各自地块的面积的平方成正比，且比例系数均为 $k$ ，即收益 $W = k (S_{△ A B D}^{2} + S_{△ B C D}^{2})$ ，设 $∠ D A B = α$ .

(1)、当 $α = 60 °$ 时，若要用一块篱笆将上述两三角形地块隔开，朱老师准备了15米的篱笆. 请问是否够用，并说明理由.

(2)、求使两块地的总收益最大时，角 $α$ 的余弦值.

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6、已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ .且 $\sqrt{3} a \cos C - \sqrt{3} b = c \sin A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{19}$ ， $D$ 为 $B C$ 边上一点， $\frac{B D}{D C} = \frac{3}{4}$ ，且 $A D ⊥ A C$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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7、海宁一中物理兴趣小组在课外研究三力平衡问题：即三个力的合力为零.已知 $\vec{f_{1}}$ ， $\vec{f_{2}}$ ， $\vec{f_{3}}$ 三力平衡，且夹角如图所示.

(1)、若 $α = 120 °$ ， $|\vec{f_{2}}| = 1$ ， $|\vec{f_{3}}| = 2$ ，求 $|\vec{f_{1}}|$ 的大小；

(2)、证明： $\frac{|\vec{f_{1}}|}{\sin α} = \frac{|\vec{f_{2}}|}{\sin β} = \frac{|\vec{f_{3}}|}{\sin γ}$ .

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8、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，求 $A D$ 的长度；

(2)、若 $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $E$ 点在 $B C$ 上，求 $A E$ 的长度.

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9、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值；

(2)、求 $|2 \vec{a} + \vec{b}|$ .

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10、当 $n \in N^{*}$ 时，将 $n, n + 1, n + 2 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 称为一组连续正整数.若存在某个三角形，其三边为一组连续正整数，且最大角是最小角的两倍，其最短边长为.

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11、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 3), \overset{⃑}{b} = (3, 4)$ ，若 $(\overset{⃑}{a} - λ \overset{⃑}{b}) ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $λ =$ ．

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12、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）

A、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$ C、若 $A = 60 °$ ，则 $\sin B + \sin C$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ D、若 $\tan A + \tan B + \tan C > 0$ ，则 $△ A B C$ 可以是钝角三角形

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13、在△ $A B C$ 中， $|\overset{⃑}{A B}| = 2, |\overset{⃑}{A C}| = 1$ ， $\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C} = 2 \overset{⃑}{A P}$ 则（）

A、 $\overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P C} > 0$ B、 $\overset{⃑}{P B} + \overset{⃑}{P C} = \overset{⃑}{0}$ C、 $\overset{⃑}{P B} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{A B} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{A C}$ D、 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{B P} = - \frac{3}{4}$

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14、已知 $O$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列结论正确的是（）

A、若 $(\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C}) \cdot (\overset{⃑}{A B} - \overset{⃑}{A C}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $\overset{⃑}{O B} = \overset{⃑}{A C} - \overset{⃑}{A B}$ ，则 $O$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 D、若 $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{B C} = 0$ ， $\overset{⃑}{O B} \cdot \overset{⃑}{A C} = 0$ ，则 $\overset{⃑}{O C} \cdot \overset{⃑}{A B} = 0$

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15、在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 2 C D = 4$ ， $A D = B C = \sqrt{5}$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上的点，则 $\overset{⃑}{E F} \cdot \overset{⃑}{B F}$ 的最小值是（）

A、0 B、 $- \frac{9}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、1

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16、圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3, B C = 4, C D = 5, A D = 6,$ 则 $\cos A =$

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{19}$ D、 $\frac{1}{21}$

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17、已知 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 的中线 $C D$ 长为3，若对 $\forall x \in [0, 1]$ ， $(x \overset{⃑}{C B} + (1 - x) \overset{⃑}{C A}) \cdot \overset{⃑}{C D} \geq 9$ 恒成立，则（）

A、 $A C = B C$ B、 $A B = A C$ C、 $∠ A C B = 90 °$ D、 $∠ A B C = 90 °$

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18、设平面向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 12$ ， $\overset{⃑}{b} = (2, \sqrt{5})$ ， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 18$ ，则 $\overset{⃑}{b}$ 在 $\overset{⃑}{a}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{b}$ B、 $\frac{1}{8} \overset{⃑}{b}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a}$ D、 $\frac{1}{8} \overset{⃑}{a}$

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19、下列四个命题正确的是（）

A、两个单位向量一定相等 B、若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 不共线，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 都是非零向量 C、共线的单位向量必相等 D、两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\cos A = \frac{b}{c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、锐角三角形

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