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相关试卷

1、古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用 $2 \sin 18 °$ 表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（）

A、 $\sin 102 ° + \sqrt{3} \cos 102 °$ B、 $2 \cos 78 ° + 2 \cos 42 °$ C、 $\frac{2 \tan 9 ° \cos 18 °}{1 - \tan^{2} 9 °}$ D、 $\frac{\sin 36 °}{\sin 108 °}$

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2、若 $a, b, c \in R$ ，给出下列命题中，错误的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a > b, c > d$ ，则 $b - c > a - d$ C、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a > b, c > 0$ ，则 $a c > b c$

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3、若正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $(x - 1) (y - 4) = 4$ ，且 $x + \frac{y}{4} \geq a^{2} - 3 a$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $\{a | - 1 < a < 4\}$ B、 $\{a | - 1 \leq a \leq 4\}$ C、 $\{a | - 4 \leq a \leq 1\}$ D、 $\{a | - 4 < a < 1\}$

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω \in N^{*})$ 有一条对称轴为 $x = \frac{2 π}{3}$ ，当 $ω$ 取最小值时，关于x的方程 $f (x) = a$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $[- 1, 2)$ D、 $[1, 2)$

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5、函数 $f (x) = (e^{2 x} + 1) \frac{\sin x}{e^{x}}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} - x - \frac{1}{4}, x \leq 1 \\ \log_{a} x - 1, x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{1}{2}, 1]$ C、 $(0, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$

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7、已知 $\sin (\frac{π}{6} - α) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $\cos (\frac{4 π}{3} + α) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$

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8、若 $a = {0.1}^{0.2}$ ， $b = {0.1}^{0.1}$ ， $c = \log_{0.2} 0.1$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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9、“ $x < 2$ ”是“ $| x | < 2$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、若集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $C = {1, 2, 3}$ ，则集合 $(A \cap B) \cup C =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2, 3}$

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11、英国数学家泰勒（B.Taylor，1685—1731）发现了：当函数 $f (x)$ 在定义域内n阶可导，则有如下公式： $f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} f^{(n)} (0) x^{n} = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{1}{2!} f^{″} (0) x^{2} + \frac{1}{3!} f^{'''} (0) x^{3} + \dots + \frac{1}{n!} f^{(n)} (0) x^{n} + \dots$ 以上公式称为函数 $f (x)$ 的泰勒展开式，简称为泰勒公式．其中， $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n$ ， $f^{(n)} (x)$ 表示 $f (x)$ 的n阶导数，即 $f (x)$ 连续求n次导数．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：

(1)、写出 $e^{x}$ 的泰勒展开式（至少有5项）；

(2)、设 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - 1 - a x^{2}$ ，若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极小值点，求实数a的取值范围；

(3)、若 $e^{8} \approx 100 k$ ， k为正整数，求k的值．

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12、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $C F // D E$ ，且 $A B = C F = \frac{1}{2} D E$ ， M为 $A B$ 中点．

(1)、过M作平面 $α$ ，使得平面 $α$ 与平面 $B E F$ 的平行（只需作图，无需证明）

(2)、试确定（1）中的平面 $α$ 与线段 $E D$ 的交点所在的位置；

(3)、若 $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，在线段 $B C$ 是否存在点P，使得二面角 $B - F E - P$ 的平面角为余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，若存在求出 $\frac{B P}{P C}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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13、如图，是南京博物馆展示的一件名为“陶三棱锥”的文物，该文物的出土，为研究吴越文化提供了重要价值，博物馆准备为该文物制作一个透明的球形玻璃外罩进行保护供游客观赏研究，经测量该文物的所有棱长都为 $\sqrt{6}$ 分米，则制作的球形玻璃外罩（玻璃外罩厚度忽略不计）的直径至少为分米．

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14、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 4$ ， M是 $B C$ 中点，且 $\vec{D N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的值为（）

A、32 B、24 C、16 D、8

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15、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点， $C$ 上两点 $A, B$ 满足： $\vec{A F_{2}} = 2 \vec{F_{2} B}$ ， $cos ∠ A F_{1} B = \frac{4}{5}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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16、平面向量 $\vec{a} = (m, 2), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $\vec{a} ∥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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17、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, 4)$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $y = f (x)$ 的定义域是 $[0, + \infty)$ B、 $y = f (x)$ 在其定义域内为减函数 C、 $y = f (x)$ 是奇函数 D、 $y = f (x)$ 是偶函数

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18、在 $△ A B C$ 中，点D在边AB上， $B D = 2 D A$ ．记 $\overset{⃑}{C A} = \vec{m} ， \overset{⃑}{C D} = \vec{n}$ ，则 $\overset{⃑}{C B} =$ （）

A、 $3 \vec{m} - 2 \vec{n}$ B、 $- 2 \vec{m} + 3 \vec{n}$ C、 $3 \vec{m} + 2 \vec{n}$ D、 $2 \vec{m} + 3 \vec{n}$

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19、定义一种新运算“ $\oplus$ ”： $x \oplus y = \ln (e^{x} + e^{y})$ ， $x, y \in R$ ，这种运算有许多优美的性质：如 $x \oplus y = y \oplus x$ ， $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$ 等．已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - a ((x - 1) \oplus (x - 1))$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (1)$ 的值；

(2)、设 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，若 $k e^{x_{1} + x_{2}} < \frac{a^{2}}{4}$ 恒成立，求正实数 $k$ 的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x} + 4$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、对任意 $x \in [1, e]$ ，不等式 $f (x) \geq \frac{1}{x} + {(x + 1)}^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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