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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \ln (x + \frac{1}{x})$ ， $x \in (0, 1)$ ．

(1)、试判断 $f^{'} (x)$ 的单调性；

(2)、证明：对任一 $x_{0} \in (0, 1)$ ，有 $f (x) \geq f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ ，当且仅当 $x = x_{0}$ 时等号成立．

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 4 \sqrt{2}$ ，点 $M (2 \sqrt{2}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 在椭圆C上，直线 $l : y = x + t$ ．

(1)、若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；

(2)、当 $t = 2$ 时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值．

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3、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = A A_{1} = A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2} ， ∠ A B B_{1} = 60^{\circ}$ ，点 $D$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $A D ⊥ B C$ ；

(2)、求面 $A B C$ 与面 $A_{1} B C$ 夹角的正切值．

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， b， $c$ 其中 $\vec{m} = (a, b)$ ， $\vec{n} = (\cos B, \frac{3}{4} \sin A)$ ，且 $\vec{m} \cdot \vec{n} = c$ ．

(1)、求 $\sin A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为5，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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5、甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分 $^{2}$ ；乙班的平均成绩为90分，方差为60分 $^{2}$ ．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是分，方差是分 $^{2}$ ．

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6、已知点P在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ 上， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线C的左、右焦点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为45，则 $|P F_{1}| + |P F_{2}| =$ ．

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7、直线 $y = a x - e$ 与曲线 $C : y = x \ln x$ 相切，则 $a =$ ．

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8、中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，到两定点 $F_{1} (- a, 0)$ ， $F_{2} (a, 0)$ 距离之积为常数 $a^{2}$ 的点的轨迹C是双纽线.若 $M (3, 0)$ 是曲线C上一点，则下列结论正确的是（）

A、曲线C的图象关于原点对称 B、曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C、曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D、曲线C上有且仅有3个点P满足 $|P F_{1}| = |P F_{2}|$

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9、设 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 有且只有两个公共点 B、存在无数个等腰三角形ABD，其三个顶点都在函数 $y = f (x)$ 的图象上 C、存在无数个菱形ABCD，其四个顶点都在函数 $y = f (x)$ 的图象上 D、存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数 $y = f (x)$ 的图象上

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10、设A，B为随机事件，且 $P (A)$ ， $P (B)$ 是A，B发生的概率． $P (A), P (B) \in (0, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若A，B互斥，则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ B、若 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则A，B相互独立 C、若A，B互斥，则A，B相互独立 D、 $\frac{P (\bar{A}| B)}{P (A| B)} \cdot \frac{P (\bar{B}| \bar{A})}{P (B| \bar{A})}$ 与 $\frac{P (\bar{B}| A)}{P (B| A)} \cdot \frac{P (\bar{A}| \bar{B})}{P (A| \bar{B})}$ 相等

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11、若不等式 $b x + 1 \leq e^{- x} - a x^{2}$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，其中 $a, b \in R$ ， e为自然对数的底数，则 $a + b$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 2)$

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12、函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin^{2} (ω x) + \sin (2 ω x + \frac{2 π}{3})$ ，其中 $ω > 0$ ，其最小正周期为 $π$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $f (x)$ 图象关于点 $(\frac{π}{3}, \sqrt{3})$ 对称 C、函数 $f (x)$ 图象向右移 $φ (φ > 0)$ 个单位后，图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值为 $\frac{5 π}{12}$ D、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3} + 1$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} + a, x \leq 0, \\ \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) + a, x > 0, \end{array} (a \in R)$ 在R上没有零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup \{0\}$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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14、一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（）

A、 $1 : \sqrt{3} : 2$ B、 $1 : 3 : 4$ C、 $\sqrt{3} : 2 : 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} : 2 : \sqrt{6}$

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15、在△ABC中，D是BC上一点，满足 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ， M是AD的中点，若 $\vec{B M} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、1 C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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16、复数 $z = \frac{10}{- 3 + i}$ （i为虚数单位），z的共轭复数为（）

A、 $- 3 - i$ B、 $- 3 + i$ C、 $3 - i$ D、 $3 + i$

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17、已知全集 $U = \{x |x > 0\}$ ，集合 $A = \{x |1 \leq x < 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty, 1] \cup [2, + \infty)$ B、 $(0, 1) \cup [2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ D、 $(0, 1) \cup (2, + \infty)$

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18、当 $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k} \in N^{*}$ ，且 $n_{1} < n_{2} < \dots < n_{k}$ 时，我们把 $a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \dots, a_{n_{k}}$ 叫做数列 $\{a_{n}\}$ 的 $k$ 阶子数列，若 $a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \dots, a_{n_{k}}$ 成等差（等比）数列，则称 $a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \dots, a_{n_{k}}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的 $k$ 阶等差（等比）子数列.已知项数为 $n (n \geq 4$ ，且 $n \in N^{*})$ 的等差数列 $\{b_{n}\}$ 的首项 $b_{1} = \sqrt{2}$ ，公差 $d = 2$ .

(1)、写出数列 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{6}$ 的所有3阶等差子数列；

(2)、数列 $\{b_{n}\}$ 中是否存在3阶等比子数列，若存在，请至少写出一个；若不存在，请说明理由；

(3)、记数列 $\{b_{n}\}$ 的3阶和4阶等差子数列个数分别为 $A, B$ ，求证： $A \leq 2 B$ .

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19、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (t, 2)$ 是 $C$ 上的一点，且 $|M F| = 2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ （其中 $x_{1} < x_{2}$ ）是 $C$ 上异于 $M$ 的两点， $∠ A M B$ 的角平分线与 $x$ 轴垂直， $N$ 为线段 $A B$ 的中点.
（i）求证：点 $N$ 在定直线上；
（ii）若 $△ M A B$ 的面积为6，求点 $A$ 的坐标.

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20、已知函数 $f (x) = 2 x - a ln x (a \in R), g (x) = - x^{2} - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在 $x \in (1, + \infty)$ ，使得函数 $f (x) \leq g (x)$ 成立，求证： $a > 5 e$ .
参考数据： $7.3 < e^{2} < 7.4, 20 < e^{3} < 20.1$ .

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