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相关试卷

1、公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} > 0$ ， $a_{4} = 2 a_{3} + 3 a_{2}$ ，则 $q =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、3 D、9

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2、若集合 $A = \{- 1, 1, 2, 3\}$ ，集合 $B = \{0, 2, 3, 4\}$ ，则 $B \cap A$ 的子集个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3、已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} - a) ln (x - 1)$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x) < x + 1$ ；

(3)、若 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上有且仅有一个极值点，求正实数 $a$ 的取值范围．

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，右焦点到双曲线 $C$ 的一条渐近线的距离为1，两动点 $A, B$ 在双曲线 $C$ 上，线段 $A B$ 的中点为 $M (2 m, m) (m \neq 0)$ ．

(1)、证明：直线 $A B$ 的斜率 $k$ 为定值；

(2)、 $O$ 为坐标原点，若 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{2}{3}$ ，求直线 $A B$ 的方程．

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2, B C = D C = P D = 1$ ， $∠ A B C = 90 °, A B ∥ C D$ ，平面 $A D P ⊥$ 平面 $A B C D, P D ⊥ B C$ ．

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值．

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6、某区中考体育科目有必选项目和选考项目，其中篮球为一个选考项目．该区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：
性别
是否喜欢篮球
合计
喜欢
不喜欢
男生
450
150
600
女生
150
250
400
合计
600
400
1000

(1)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；

(2)、用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的喜欢篮球的600名初中学生中抽取8名学生做进一步调查，将这8名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X表示随机抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
附：参考数据
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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7、定义离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ 的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{16} = 1 （ m > 16 ）$ 是“西瓜椭圆”，则 $m =$ .若“西瓜椭圆” $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $y = k x$ 与椭圆 $E$ 交于 $A, B$ 两点，以线段 $A B$ 为直径的圆过点 $F$ ，则 $k =$ ．

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8、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 A C$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $A D = B D = 2 D C = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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9、 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中常数项是．（用数字作答）

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10、如图，几何体的底面是边长为6的正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A B ∥ A_{1} B_{1}, A A_{1} = A B = 3$ ， $\vec{B C} = \vec{A D} = λ \vec{A_{1} D_{1}}, λ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 0$ 时，该几何体的体积为45 B、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，该几何体为台体 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为 $9 π$ D、当点 $B_{1}$ 到直线 $D D_{1}$ 距离最大时，则 $λ = 1$

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11、已知函数 $f (x) = |x - 2| e^{x} - a$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递增 B、 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极大值点 C、 $f (x)$ 既无最大值，也无最小值 D、当 $a \in (1, 2)$ 时， $f (x)$ 有三个零点

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12、中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为 $2 : 1$ ，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（）

A、李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ B、李明获胜的概率为 $\frac{17}{30}$ C、若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 $\frac{12}{17}$ D、若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 $\frac{6}{17}$

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13、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $(0, + \infty), f (2) = - 1$ ，且 $f (x) + x f^{'} (x) = 1$ 对于 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (3) = 0$ C、 $f (4) = 0$ D、 $f (6) = 0$

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14、已知点 $P$ 在圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 上运动，点 $A (- 2, 0)$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围为（）

A、 $[20, 30]$ B、 $(20, 30)$ C、 $[20, 25]$ D、 $(20, 25)$

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15、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (- x) = f (x)$ ，若函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = {log}_{2} (2^{x} + 2^{- x})$ 的图象有交点，且交点个数为奇数，则 $f (0) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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16、设 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，且在第一象限，若直线 $A F$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $|A F| =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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17、函数 $f (x) = sin x \cdot cos x - \sqrt{3} {cos}^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的最小正周期为（）

A、4 B、2 C、 $2 π$ D、 $π$

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18、复数 $z = \frac{3 - 2 i}{1 - i}$ （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、已知集合 $A = \{x |3 x^{2} - 4 x + 1 \leq 0\}, B = \{x |0 < x < \frac{1}{2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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20、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，若存在常数 $T$ ， $n_{0} (T, n_{0} \in N^{*})$ ，使得对任意的正整数 $n \geq n_{0}$ ，恒有 $a_{n + T} = a_{n}$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 是从第 $n_{0}$ 项起的周期为 $T$ 的周期数列．当 $n_{0} = 1$ 时，称数列 $\{a_{n}\}$ 为纯周期数列；当 $n_{0} \geq 2$ 时，称数列 $\{a_{n}\}$ 为混周期数列．记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，设各项均为正整数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2}, & a_{n} 为偶数 \\ \frac{a_{n} - 1}{2} + 2^{[\log_{2} a_{n}]}, & a_{n} 为奇数 \end{array}$ .

(1)、若对任意正整数 $n$ 都有 $a_{n} \neq 1$ ，请写出三个满足条件的 $a_{1}$ 的值；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是纯周期数列，请写出满足条件的 $a_{1}$ 的表达式，并说明理由；

(3)、证明：不论 $a_{1}$ 为何值，总存在 $m, n \in N^{*}$ 使得 $a_{n} = 2^{m} - 1$ ．

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性别	是否喜欢篮球		合计
性别	喜欢	不喜欢	合计
男生	450	150	600
女生	150	250	400
合计	600	400	1000

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828