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相关试卷

1、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，则（）

A、“ $|2 \vec{a} - \vec{b}| = |2 \vec{a} + \vec{b}|$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的必要条件 B、“ $|2 \vec{a} - \vec{b}| = 1$ ”是“ $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ”的必要条件 C、“ $|2 \vec{a} - \vec{b}| = |2 \vec{a} + \vec{b}|$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的充分条件 D、“ $|2 \vec{a} - \vec{b}| = 1$ ”是“ $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ”的充分条件

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2、已知曲线 $C_{1} : y = \frac{1}{2} e^{x}$ 在点 $P$ 处的切线与曲线 $C_{2} : y = - \frac{e}{2 x} (x > 0)$ 在点 $Q$ 处的切线平行，且直线 $P Q$ 垂直于 $x$ 轴，则 $|P Q| =$ （）

A、e B、 $2 e$ C、 $3 e$ D、e或3e

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3、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) + b (A > 0, 0 < ω < 10, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $ω =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、6

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4、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，且 $f (\frac{1}{3}) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x^{2} - 2} \leq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \sqrt{2}, - \frac{1}{3}] \cup (\sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \sqrt{2}) \cup [- \frac{1}{3}, 0) \cup [\frac{1}{3}, \sqrt{2})$ C、 $(- \sqrt{2}, - \frac{1}{3}] \cup \{0\} \cup (\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \sqrt{2}) \cup [- \frac{1}{3}, 0] \cup [\frac{1}{3}, \sqrt{2})$

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5、如图， $O$ 为 $△ A B C$ 内一点， $D$ 为 $B C$ 的中点， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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6、已知命题 $p : \forall x \in R ， \sqrt{x^{2}} = x$ ，命题 $q : \exists x \in (0, π)$ ， $\tan x = sin x$ ，则（）

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题 C、 $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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7、记水的质量为 $\frac{S - 1}{ln n}$ ，则当 $S = 7, n = e^{3}$ 时，水的质量为（）

A、2 B、e C、2.1 D、3

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8、已知集合 $M = \{x |{(x - a)}^{2} = 1\} ， N = {1, 3}$ ，若 $M \subseteq N$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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9、复数 $z = - \sqrt{2} i (1 + \sqrt{2} i)$ 的虚部为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2} i$

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10、如果三个互不相同的函数 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ ， $y = h (x)$ 在区间 $D$ 上恒有 $f (x) \leq h (x) \leq g (x)$ 或 $g (x) \leq h (x) \leq f (x)$ ，则称 $y = h (x)$ 为 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在区间 $D$ 上的“分割函数”．

(1)、证明：函数 $f_{1} (x) = x$ 为函数 $y = ln (x + 1)$ 与 $y = e^{x - 1}$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上的分割函数；

(2)、若函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 为函数 $y = 2 x^{2} + 2$ 与 $y = 4 x$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上的“分割函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $[m, n] \subseteq [- 2, 2]$ ，且存在实数 $k, d$ ，使得函数 $y = k x + d$ 为函数 $y = x^{4} - 4 x^{2}$ 与 $y = 4 x^{2} - 16$ 在区间 $[m, n]$ 上的“分割函数”，求 $n - m$ 的最大值．

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11、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ （ $a_{n} \neq 0$ ， $n \in N^{*}$ ），构造新数列 $\{a_{n}^{(1)}\}$ 满足 $a_{n}^{(1)} = a_{n + 1} - a_{n}$ ， $\{a_{n}^{(2)}\}$ 满足 $a_{n}^{(2)} = a_{n + 1}^{(1)} - a_{n}^{(1)}$ ， …， $\{a_{n}^{(k)}\}$ 满足 $a_{n}^{(k)} = a_{n + 1}^{(k - 1)} - a_{n}^{(k - 1)}$ （ $k \geq 2$ ， $k \in N^{*}$ ），若 $\{a_{n}^{(k)}\}$ 为常数数列，则称 $\{a_{n}\}$ 为k阶等差数列；同理令 $b_{n}^{(1)} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ， $b_{n}^{(2)} = \frac{b_{n + 1}^{(1)}}{b^{(1)}}$ ， ……， $b_{n}^{(k)} = \frac{b_{n + 1}^{(k - 1)}}{b_{n}^{(k - 1)}}$ （ $k \geq 2$ ， $k \in N^{*}$ ），若 $\{b_{n}^{(k)}\}$ 为常数数列，则称 $\{a_{n}\}$ 为k阶等比数列.

(1)、已知 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 4$ ， $a_{n}^{(2)} = 2$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为 $k$ 阶等差数列， $\{b_{n}\}$ 为一阶等比数列，证明： $\{b_{n}^{a_{n}}\}$ 为 $k$ 阶等比数列；

(3)、已知 $d_{n} = \frac{- 3 n^{2} + 8 n - 1}{4^{n}}$ ，令 $\{d_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $T_{n} = \sum_{m = 1}^{n} \sqrt{S_{m} - 1}$ ，证明： $T_{n} < 2$ .

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12、如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH中点，PA=AC=2，BC=1．
（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PM与平面AHB成角的正弦值；
(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N，使得MN∥平面ABC，若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由．

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13、已知实数 $a, b$ 满足 $a + b \geq 3$ ．

(1)、证明： $2 a^{2} + 2 b^{2} > a + b$ ；

(2)、证明： $|a - 2 b^{2}| + |b - 2 a^{2}| \geq 6$ ．

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14、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ， $O$ 为 $A C$ 中点．

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $M$ 在棱 $B C$ 上， $B M = \frac{1}{2} M C$ ，且 $A B = B C$ ，求二面角 $M - P A - C$ 的大小．

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15、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P、Q分别在 $A_{1} B_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 上，且 $A_{1} P = 2 P B_{1}$ ， $C_{1} Q = 2 Q D_{1}$ ，则异面直线 $B P$ 与 $D Q$ 所成角的余弦值为

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16、已知 $O$ 为坐标原点，焦点为 $F$ 的抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 过点 $M (2, 1)$ ，过 $M$ 且与 $O M$ 垂直的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的另一交点为 $N$ ，则（）

A、 $p = 2$ B、 $|M F| = 3$ C、 $|M N| = 12 \sqrt{5}$ D、直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的准线相交于点 $(3, - 1)$

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17、对于函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, e)$ 上单调递减，在 $(e, + \infty)$ 上单调递增 B、当 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ 时， $x_{1} \cdot \ln x_{2} > x_{2} \cdot \ln x_{1}$ C、若函数 $y = f (|x|) - k (k \in R)$ 有两个零点，则 $k = e$ D、设 $g (x) = x^{2} + a (a \in R)$ ，若对 $\forall x_{1} \in R$ ， $\exists x_{2} \in (1, + \infty)$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则 $a \geq e$

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18、午饭时间；B同学从教室到食堂的路程 $S$ 与时间 $t$ 的函数关系如图，记 $t$ 时刻的瞬时速度为 $V (t)$ ，区间 $[0, t_{1}], [0, t_{2}], [t_{1}, t_{2}]$ 上的平均速度分别为 $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ ，则下列判断正确的有（）

A、 $V_{1} < V_{2} < V_{3}$ B、 $\frac{V_{1} + V_{3}}{2} < V_{2}$ C、对于 $V_{i} (i = 1, 2, 3)$ ，存在 $m_{i} \in (0, t_{2})$ ，使得 $V (m_{i}) = V_{i}$ D、整个过程小明行走的速度一直在加快

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19、设函数 $f （ x ） = x^{3} - x^{2} + 2 x$ ，则

A、函数 $f (x)$ 无极值点 B、 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点 C、 $x = 2$ 为 $f (x)$ 的极大值点 D、 $x = 2$ 为 $f (x)$ 的极小值点

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20、19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，若其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、 $a_{12}$ B、 $a_{12} - 1$ C、 $a_{12} - 2$ D、 $a_{12} - 3$

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