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相关试卷

1、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增， $f (2) = 0$ ，则 $(x - 1) \cdot f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 2, 0) \cup (1, 2)$ D、 $(- 2, + \infty)$

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2、已知点F，A分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点、右顶点， $B (0, b)$ 满足 $\vec{F B} \cdot \vec{A B} = 0$ ，则椭圆的离心率等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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3、某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为

A、 $66$ B、 $54$ C、 $40$ D、 $36$

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4、已知正整数 $m$ ，设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2 m}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{2 m}$ 是 $4 m$ 个非负实数， $S = \sum_{i = 1}^{2 m} a_{i} = \sum_{i = 1}^{2 m} b_{i} > 0$ .若对于任意 $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2 m$ ，取 $a_{2 m + 1} = a_{1}$ ， $a_{2 m + 2} = a_{2}$ ， $b_{2 m + 1} = b_{1}$ ，都有 $a_{i} a_{i + 2} \geq b_{i} + b_{i + 1}$ ，则称这 $4 m$ 个数构成 $(S, m)$ —孪生数组.

(1)、写出8个不全相等的数，使得这8个数构成 $(8, 2)$ —孪生数组；

(2)、求最小的 $S$ ，使得 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{6}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{6}$ 构成 $(S, 3)$ —孪生数组；

(3)、若 $m \geq 4$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2 m}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{2 m}$ 构成 $(16, m)$ —孪生数组，求 $a_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2 m)$ 的最大值.
参考公式：（i） ${(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} \geq 3 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1})$ ，当且仅当 $x_{1} = x_{2} = x_{3}$ 时取等；（ii）当正偶数 $n \geq 4$ 时，设 $n = 2 k (k \in N^{*})$ ，有 $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{n} x_{1} \leq (x_{1} + x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{2 k - 1}) (x_{2} + x_{4} + \cdot \cdot \cdot + x_{2 k})$ ；当正奇数 $n > 4$ 时，设 $n = 2 k + 1 (k \in N^{*})$ ，有 $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{n} x_{1} \leq (x_{1} + x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{2 k + 1})$ $(x_{2} + x_{4} + \cdot \cdot \cdot + x_{2 k})$ .

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5、已知点 $A (4, 4)$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在抛物线 $W$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上， $A$ ， $C$ 关于 $y$ 轴对称，直线 $A B$ ， $A D$ 关于直线 $A C$ 对称，点 $D$ 在直线 $A C$ 的上方，直线 $A D$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，直线 $A B$ 斜率小于2.

(1)、求 $△ A B E$ 面积的最大值；

(2)、记四边形 $B C D E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A B E$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 2$ ，求 $sin ∠ B A D$ .

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6、已知 $a$ 为实数， $n \in N^{*}$ ，设函数 $f (x) = x^{n} - a ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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7、现有一抛硬币游戏机制：假设抛中正、反面可能性均为 $\frac{1}{2}$ ，若抛中的是正面，则收益 $80 %$ 的手中金额；否则亏损 $50 %$ 的手中金额.甲同学按此规则进行多组模拟，抛硬币 $100$ 次，发现最终亏损的次数多于盈利的次数.假设初始金额为 $100$ 元，记 $x$ 为抛硬币次数， $y$ 为经历 $x$ 次抛硬币后手中的金额.

(1)、若 $x = 2$ ，求 $y$ 的分布列；

(2)、如图，横坐标表示 $x$ ，纵坐标表示 $y$ ，在图中描出所有可能取值对应的 $(x, y)$ ，并求出当 $x = 0$ 、1、2、3时盈利的概率；

(3)、综合（1）（2）数据，简要说明形成甲同学的实验现象的原因（直接写结论）.

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8、.如图，底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 固定在底面 $α$ 上的盛水容器口为正方形 $A B C D$ ，侧棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 相互平行.

(1)、证明：底面四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是平行四边形；

(2)、若已知四条侧棱垂直于面 $A B C D$ ，且 $A A_{1} = D D_{1} = 4$ ， $B B_{1} = C C_{1} = A B = 2$ .现往该容器中注水，求该容器最大盛水体积 $V$ 及此时侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 与底面 $α$ 所成角 $θ$ 的余弦值（水面平行于底面 $α$ ）.

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9、已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是；得0分的概率是.

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10、三棱锥 $P - A B C$ 的底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $P A + P B = 4$ ，则三棱锥体积的最大值是.

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11、计算： $i - i^{2} + i^{3} - i^{4} + i^{5} - i^{6} + \cdot \cdot \cdot - i^{2024} =$ （ $i$ 为虚数单位）.

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12、已知曲线 $C$ 上的点满足：到定点 $(1, 0)$ 与定直线 $y$ 轴的距离的差为定值 $m$ ，其中，点 $A$ ， $B$ 分别为曲线 $C$ 上的两点，且点 $B$ 恒在点 $A$ 的右侧，则（）

A、若 $m = \frac{1}{2}$ ，则曲线 $C$ 的图象为一条抛物线 B、若 $m = 1$ ，则曲线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ C、当 $m > 1$ 时，对于任意的 $A (x_{1}, y_{0})$ ， $B (x_{2}, y_{0})$ ，都有 $|x_{1}| > |x_{2}|$ D、当 $m < - 1$ 时，对于任意的 $A (x_{1}, y_{0})$ ， $B (x_{2}, y_{0})$ ，都有 $|x_{1}| > |x_{2}|$

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13、如图，在三棱锥 $P - E D F$ 的平面展开图中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，正方形 $A B C D$ 的边长为2，则在三棱锥 $P - E D F$ 中（）

A、 $△ P E F$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ B、 $P D ⊥ E F$ C、平面 $P E F ⊥$ 平面 $D E F$ D、三棱锥 $P - E D F$ 的体积为 $\frac{1}{3}$

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14、已知均值为 $(2, 5)$ 的多组样本点数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ … $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot n)$ 经最小二乘法得到的回归直线 $y = 2 x + 1$ .现删去样本点数据 $(2, 7)$ ，并利用最小二乘法得到新回归直线，则新回归直线（）
参考数据：回归直线 $y = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

A、斜率改变 B、截距不变 C、斜率不变 D、截距改变

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15、若正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{b} = b c$ ， $a^{b} ln a = c$ ，则（）

A、 $a \geq b$ B、 $a \geq c$ C、 $b \geq c$ D、 $c \geq b$

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，则 $\sum_{k = - 2023}^{2025} f (k) =$ （）

A、 $- 8098$ B、 $- 8096$ C、0 D、8100

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17、边长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A A_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 中点， $M$ 是 $D B$ 靠近 $B$ 的四等分点， $P$ 在正方体内部或表面， $\vec{D P} \cdot (\vec{E F} + \vec{M F}) = 0$ ，则 $|\vec{D P}|$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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18、在 $△ A B C$ 中， $tan A$ 和 $tan B$ 是方程 $x^{2} - m x + n = 0, (n \neq 1)$ 的两个根，则 $tan C =$ （）

A、 $\frac{m}{n - 1}$ B、 $\frac{m}{1 - n}$ C、 $\frac{n}{1 - m}$ D、 $\frac{n}{1 - m}$

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19、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点到直线 $l$ ： $x - y - 4 = 0$ 的距离之差为2，则 $E$ 的焦距是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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20、已知 ${(x + \frac{a}{x})}^{n}$ 存在常数项，且常数项是 $20 a^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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