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相关试卷

1、在 $Δ A B C$ 中，，若O为 $Δ A B C$ 内部的一点，且满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} =$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，若 $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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3、数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 |y|$ 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）

A、曲线 $C$ 围成的图形有 $6$ 条对称轴 B、曲线 $C$ 围成的图形的周长是 $4 \sqrt{2} π$ C、若 $T (a, b)$ 是曲线 $C$ 上任意一点， $|4 a + 3 b - 18|$ 的最小值是 $11 - 5 \sqrt{2}$ D、曲线 $C$ 上的任意两点间的距离不超过 $6$

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4、已知函数 $f (x) = x \ln x - a x + 1$ ，则（）

A、当 $a = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $1 - \frac{1}{e}$ B、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值点为 $x = 1$ C、存在实数 $a$ 使得函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增 D、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 $a \leq 1$

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5、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (- 3, 0)$ ， $B (2, 1)$ ， $C (- 2, 3)$ ，求：

(1)、 $B C$ 边上中线 $A D$ 所在直线的方程；

(2)、 $B C$ 边的垂直平分线 $D E$ 的方程；

(3)、 $△ A B C$ 的外接圆方程．

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6、已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, 0, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(\frac{3 \sqrt{10}}{2}, 0, \frac{\sqrt{10}}{2})$ B、 $(\frac{10}{3}, - \frac{10}{3}, - \frac{5}{3})$ C、 $(\frac{3}{2}, 0, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{10}{9}, - \frac{10}{9}, - \frac{5}{9})$

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7、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对 $\forall x$ ， $y > 0$ ，都有 $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y) + 1$ ；且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 1$ ．已知 $f (2) = 2$ ．

(1)、求 $f (1)$ ， $f (4)$ ；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(3)、解不等式： $f (x + 2) + f (4 - x) < 5$ ．

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8、国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象 $.$ 已知某火车站候车厅，候车人数与时间 $t$ 相关，时间 $t ($ 单位：小时 $)$ 满足 $0 < t ⩽ 24$ ， $t \in N .$ 经测算，当 $16 \leq t \leq 24$ 时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为 $5000$ 人，当 $0 < t < 16$ ，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与 $t (16 - t)$ 成正比，且时间为 $6$ 点时，候车人数为 $3800$ 人，记候车厅候车人数为 $f (t)$ ．

(1)、求 $f (t)$ 的表达式，并求当天中午 $11$ 点时，候车厅候车人数 $;$

(2)、铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为 $P = \frac{f (t) - 3000}{t} + 400$ ，则当 $t$ 为何值时需要提供的免费面包数量最少.

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9、已知 $f (x) = \frac{a - 3^{x + 1}}{3^{x} + b} (a > 0, b > 0)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数．

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) \cdot (3^{x} + 1) + 9^{x} - 1$ 在 $x \in [0, 1]$ 上的值域．

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10、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 3 x - 18 \leq 0\}, B = \{x | 2 m - 3 \leq x \leq m + 2\}$ .
（1）当 $m = 0$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；
（2）若 $B \cap (∁_{R} A) = \emptyset$ ，求实数m的取值范围.

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11、已知a，b为正实数，则 $\frac{a}{a + b} + \frac{b}{2 a + b}$ 的最小值为．

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4$ ．设命题 $p$ ：“关于 $x$ 的不等式 $f (f (x)) < 0$ 解集为空集”，则命题 $p$ 的必要条件可以是（）

A、 $a \leq - 4$ B、 $a \leq - 5$ C、 $a \leq - 6$ D、 $a \leq - 7$

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13、下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $f (x) = x - 1$ 与 $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ D、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (t) = \frac{1}{t^{0}}$

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14、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{a}{b} > 1$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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15、函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则关于x的不等式 $x \cdot f (x - 1) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1) \cup (3, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (0, 1) \cup (2, + \infty)$

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16、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2 (x - 1), x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (a + 1)$ ，则 $a =$ （）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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17、设 $x \in R$ ，则“ $0 < x < 3$ ”是“ $|x - 1| < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、命题“ $\forall x > 2, x^{2} + 2 > 6$ ”的否定（）

A、 $\exists x \geq 2, x^{2} + 2 > 6$ B、 $\exists x \leq 2, x^{2} + 2 \leq 6$ C、 $\exists x \leq 2, x^{2} + 2 > 6$ D、 $\exists x > 2, x^{2} + 2 \leq 6$

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19、若 $m^{2024} = n$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ），则（）

A、 $\log_{m} n = 2024$ B、 $\log_{n} m = 2024$ C、 $\log_{2024} m = n$ D、 $\log_{2024} n = m$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (2, \sqrt{2})$ ，且C的右焦点为 $F (2, 0)$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、设过点 $(4, 0)$ 的一条直线与C交于 $P, Q$ 两点，且与线段AF交于点S．
（i）若 $|A S| = |F S|$ ，求 $|P Q|$ ；
（ii）若 $△ A P S$ 的面积与 $△ F Q S$ 的面积相等，求点Q的坐标．

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