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相关试卷

1、已知三棱锥 $S - A B C$ ，点 $M$ 是棱 $S A$ 的中点，点 $N$ 是 $△ A B C$ 的重心，设 $\vec{S A} = \vec{a}$ ， $\vec{S B} = \vec{b}$ ， $\vec{S C} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{M N}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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2、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $150^{\circ}$ B、 $90^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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3、已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过原点 $O$ 的动直线 $l$ 交抛物线于另一点 $P$ ，交抛物线的准线于点 $Q$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $|P F| = 4$ ，则 $O$ 为线段 $P Q$ 中点 B、若 $|O P| = 4 \sqrt{3}$ ，则 $| P F | = 6$ C、存在直线 $l$ ，使得 $P F ⊥ Q F$ D、 $△ P F Q$ 面积的最小值为8

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4、若直线 $k x + y + k = 0$ 与曲线 $y = 1 + \sqrt{2 x - x^{2}}$ 仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（）

A、 $[- 1, - \frac{1}{3}) \cup \{0\}$ B、 $(- 1, - \frac{1}{3}) \cup \{0\}$ C、 $[- 1, - \frac{1}{3}] \cup \{- \frac{4}{3}\}$ D、 $(- 1, - \frac{1}{3}] \cup \{- \frac{4}{3}\}$

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5、已知球 $O$ 的直径为 $P C = 2 \sqrt{3}, A 、 B$ 是球面上两点，且 $P A = P B = \sqrt{3}, ∠ A P B = \frac{π}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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6、已知双曲线的渐近线方程是 $y = \pm 2 x$ ，则双曲线的离心率是.

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7、已知 $F$ 为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若 $|M N|$ 等于 $|P F|$ 的最小值的3倍，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4, ∠ A B C = 60 °$ ， E为 $C D$ 的中点．将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，连接 $B D$ 与 $C D$ ，如图2．

(1)、当 $B D$ 为何值时，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ?

(2)、设 $\vec{B F} = λ \vec{B D} (0 \leq λ \leq 1)$ ，当 $B E ⊥ D E$ 时，是否存在实数 $λ$ ，使得直线 $A F$ 与平面 $A B C E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

(3)、当三棱锥 $B - C D E$ 的体积最大时，求三棱锥 $D - A B E$ 的内切球的半径．

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9、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为 $4$ 的正方形， $A A_{1} B_{1} B$ 为矩形， $A B = 3, B C = 5$ .

(1)、求证： $A A_{1} ⊥$ 平面ABC；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} B$ 所成角的正弦值；

(3)、求点C到平面 $A_{1} C_{1} B$ 的距离.

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10、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + m x + n y + 1 = 0$ ，直线 $l_{1} : x - y - 1 = 0$ ， $l_{2} : x - 2 y = 0$ ，且直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 均平分圆 $C$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程

(2)、直线 $\sqrt{3} x + y + a - 2 \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $∠ M C N = 120^{\circ}$ ，求实数 $a$ 的值.

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11、两条平行直线 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 与 $a x + 8 y - 20 = 0$ 间的距离是．

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12、已知 $\vec{a} = (2, 2, 1), \vec{b} = (1, 0, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为.

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13、对于直线 $l_{1} : a x + 2 y + 3 a = 0$ 和直线 $l_{2} : 3 x + (a - 1) y + 3 - a = 0$ ．以下说法正确的有（）

A、直线 $l_{2}$ 一定过定点 $(- \frac{2}{3}, 1)$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{2}{5}$ C、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a = 3$ D、点 $P (1, 3)$ 到直线 $l_{1}$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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14、已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点E，F分别是直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} D_{1}$ 上的点，则线段EF长度的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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15、已知菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，沿对角线AC折叠之后，使得平面 $B A C ⊥$ 平面 $D A C$ ，则二面角 $B - C D - A$ 的余弦值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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16、已知平面 $α$ 内有一个点 $M (1, - 1, 2)$ ，平面 $α$ 的一个法向量是 $\vec{n} = (2, - 1, 2)$ ，则下列点 $P$ 中，在平面 $α$ 内的是（）

A、 $P (2, 3, 3)$ B、 $P (- 2, 0, 1)$ C、 $P (- 4, 4, 0)$ D、 $P (3, - 3, 4)$

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17、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设 $A =$ “甲中靶”， $B =$ “乙中靶”，则（）

A、A与B，A与 $\bar{B}$ ， $\bar{A}$ 与B， $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 都相互独立 B、 $A \bar{B}$ 与 $B \bar{A}$ 是对立事件 C、 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.98$ D、 $P (A B \cup \bar{A} B \cup A \bar{B}) = 0.02$

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18、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $B C$ 的中点， $N$ 为 $A_{1} C_{1}$ 上靠近 $A_{1}$ 的三等分点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{N M}$ 为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$

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19、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 2, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 2, - 1)$ ， $\vec{c} = (m, 4, 0)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则 $m =$ （）

A、2 B、3 C、 $- 1$ D、 $- 5$

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20、若函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x + 2 \cos^{2} \frac{x}{2}$ ， $△ A B C$ 的角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $f (A) = 3$ .
（1）当 $\frac{b + c}{a}$ 取最大值时，判断 $△ A B C$ 的形状；
（2）在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边的中点，且 $A D = \sqrt{13}$ ， $A C = 2$ ，求 $B C$ 的长.

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