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相关试卷

1、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{3} + a_{4} = 7$ ， $3 a_{2} + a_{5} = 5$ ，则 $\frac{S_{9}}{9} =$ ．

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2、已知圆C： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ，直线l： $m x + y - 2 m - 3 = 0$ ．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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3、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P (\frac{2 \sqrt{6}}{3}, 1)$ 在椭圆 $C$ 上，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $A$ 为椭圆 $C$ 的左顶点，过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $D$ 、 $E$ 两点， $S_{△ A D E} = \frac{18 \sqrt{2}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程．

(3)、若过椭圆上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ，利用上述结论，设 $d$ 是从椭圆中心到椭圆在点 $Q$ 处切线的距离，当 $Q$ 在椭圆上运动时，判断 $d^{2} |Q F_{1}| |Q F_{2}|$ 是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．

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4、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D、E分别是 $A A_{1}$ 、 $B C$ 的中点， $A C = B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $∠ B C A = 90 °$ .

(1)、求证： $A E //$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求点E到平面 $C_{1} B D$ 的距离.

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5、已知直线 $l_{1}$ 经过点 $A (2, 3)$ ．

(1)、若 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + 2 y + 4 = 0$ 垂直，求 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若 $l_{1}$ 在两坐标轴上的截距相等，求 $l_{1}$ 的方程．

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6、已知点P是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上一动点，Q是圆 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点，点 $M (6, 4)$ ，则|PQ|－|PM|的最大值为.

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7、已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为1，空间中一点 $M$ 满足 $\vec{P M} = x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P C}$ ，其中 $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ，且 $x + y + z = 1$ .则 $|\vec{P M}|$ 的最小值．

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8、 $\vec{a} = (2, x, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $|\vec{a}| =$ ．

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9、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $E$ ， $F$ 在四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所在的平面内，若 $|A E| = \sqrt{5}$ ， $A C ⊥ D F$ ，则下述结论正确的是（）

A、二面角 $A_{1} - B D - A$ 的平面角的正切值为2 B、 $C F ⊥ A C_{1}$ C、点 $E$ 的轨迹是一个圆 D、直线 $D F$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10、已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、两圆的公切线有2条 B、 $A B$ 直线方程为 $2 x + y + 1 = 0$ C、 $|A B| = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、动点 $P (x, y)$ 在圆 $O_{1}$ 上，则 $x^{2} + {(y - 1)}^{2}$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$

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11、已知F₁ ， F₂分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为10 B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{5}$ C、椭圆C的焦距为6 D、椭圆C的离心率为 $\frac{4}{9}$

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12、设椭圆 $C$ 的两个焦点是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与椭圆 $C$ 交于点 $P$ ， $Q$ 若 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，且 $3 |P F_{1}| = 4 |Q F_{1}|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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13、已知直线 $l$ ： $x - y - 2 = 0$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，过直线 $l$ 上的任意一点 $P$ 作圆 $O$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为A， $B$ ，则 $∠ A P B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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14、已知点 $A (3, 0)$ ， $B (5, 0)$ ， $C (0, 5)$ ，圆 $M : {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ ，一条光线从 $A$ 点发出，经直线 $B C$ 反射到圆 $M$ 上的最短路程为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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15、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在线段 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ，点 $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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16、直线 $l_{1}$ ： $x - y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $2 x - 2 y + 3 = 0$ 的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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17、中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以 $3 : 0$ 取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为 $\frac{4}{5}$ .

(1)、求中国队以 $3 : 0$ 的比分获胜的概率；

(2)、求中国队在已输一场的情况下获胜的概率；

(3)、求至多进行四场比赛的概率.

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18、若 $x > 2$ ，则 $y = x + \frac{4}{x - 2}$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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19、集合 $A = \{x | - 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x | x < 1\}$ ，则 $A \cup (∁_{R} B)$ ＝（）

A、 $\{x | x > 1\}$ B、 $\{x | x \geq - 1\}$ C、 $\{x | 1 < x \leq 2\}$ D、 $\{x | 1 \leq x \leq 2\}$

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ ，若 $\exists x \in [2, + \infty)$ 对 $\forall a \in [- 1, 1]$ 均有 $f (x) < m - 2 a m + 2$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(- \frac{1}{3}, 1)$ C、 $(- 1, \frac{1}{3})$ D、 $(- 1, 3)$

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