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相关试卷

1、设无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ .若 $a_{1} < 0$ ，则“ $T_{n}$ 有最大值”是“公差 $d \geq 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、已知向量 $\vec{a} = (x, 1), \vec{b} = (- 1, y)$ ，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、 $| \vec{a} | + | \vec{b} | = 2$ C、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ D、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$

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3、已知集合 $A = \{x |x \leq 0$ 或 $x > 1\}$ ， $B = \{- 2, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 2\}$ B、 $\{- 2, 1, 2\}$ C、 $\{- 2, 0, 2\}$ D、 $\{- 2, 0, 1, 2\}$

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4、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\sqrt{a b}$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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5、已知有限数列 $\{a_{n}\}$ ，从数列 $\{a_{n}\}$ 中选取第 $i_{1}$ 项、第 $i_{2}$ 项、 $\dots$ 、第 $i_{m}$ 项（ $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{m}$ ），顺次排列构成数列 $\{b_{k}\}$ ，其中 $b_{k} = a_{i_{k}}$ ， $1 \leq k \leq m$ ，则称新数列 $\{b_{k}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的长度为m的子列．规定：数列 $\{a_{n}\}$ 的任意一项都是 $\{a_{n}\}$ 的长度为1的子列，若数列 $\{a_{n}\}$ 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为完全数列．设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n$ ， $1 \leq n \leq 25, n \in N^{*}$ ．

(1)、判断下面数列 $\{a_{n}\}$ 的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．

(2)、数列 $\{a_{n}\}$ 的子列 $\{b_{k}\}$ 长度为m，且 $\{b_{k}\}$ 为完全数列，证明：m的最大值为6；

(3)、数列 $\{a_{n}\}$ 的子列 $\{b_{k}\}$ 长度 $m = 5$ ，且 $\{b_{k}\}$ 为完全数列，求 $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + \frac{1}{b_{4}} + \frac{1}{b_{5}}$ 的最大值．

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6、已知 $f (x) = (2 x - 1) e^{a x} - x$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $x + y + b = 0$ ．

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、证明： $f (x)$ 仅有一个极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) < - \frac{3}{4}$ ．

(3)、若 $g (x) = (k x - 1) e^{k x} - x$ ，是否存在 $k$ 使得 $g (x) \geq - 1$ 恒成立，存在请求出 $k$ 的取值范围，不存在请说明理由．

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7、已知函数 $f (x) = x^{a} \ln x$ ，其中a为常数且 $a \neq 0$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $a = 1$ 时，若在点 $M (x_{0}, f (x_{0})) (x_{0} > \frac{1}{e})$ 处的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原点，记 $△ A O B$ 的面积为S，求S的最小值.

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8、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = A B_{1} = 2, A B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C_{1} ⊥$ $A C$ ， $D, E$ 分别是 $A C ， B_{1} C_{1}$ 的中点.
（Ⅰ）证明： $A C ⊥ B_{1} C_{1}$ ；
（Ⅱ）证明： $D E / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；
（Ⅲ）求 $D E$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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9、若△ $A B C$ 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解决下列问题：

(1)、求边 $a$ 的值；

(2)、求△ $A B C$ 的面积.
条件①： $a \cos A = b \sin A$ ；
条件②： $b = a + 2$ ；
条件③： $\sin C = \frac{1}{2}$ ；
条件④： $c^{2} \cdot \cos C = - 10 \sqrt{3} - 12$ .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

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10、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + 2 sin x cos x - {cos}^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求不等式 $f (x) \geq - 1$ 的解集；

(3)、从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求 $m$ 的取值范围.
① $f (x)$ 在 $(0, m)$ 有恰有两个极值点；
② $f (x)$ 在 $(0, m)$ 单调递减；
③ $f (x)$ 在 $(0, m)$ 恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，0分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = 1$ 且 $a_{n + 1} = S_{n}^{2} + 1, (n \in N^{*})$ ，给出下列四个结论：①长度分别为 $1, a_{n + 1}, S_{n}$ 的三条线段可以构成一个直角三角形：② $\forall n \in N^{*}, S_{n} \geq 2^{n - 1}$ ；③ $\forall n \in N^{*}, a_{n} + a_{n + 2} < 2 a_{n + 1}$ ；④ $\forall n \in N^{*}, a_{n + 1} = 2 a_{n} \cos \frac{π}{2^{n + 1}}$ .其中所有正确结论的序号是.

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12、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x - 2} + a, x \geq 2 \\ |a^{x} - 2|, x < 2 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．给出下列四个结论：
①当 $a = 2$ 时，存在 $t$ ，方程 $f (x) = t$ 有唯一解；
②当 $a \in (0, 1)$ 时，存在 $t$ ，方程 $f (x) = t$ 有三个解；
③对任意实数 $a$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）， $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ；
④存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递增；
其中所有正确结论的序号是．

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13、已知角 $x$ 在第二象限，且 $sin (x + \frac{π}{2}) = - \frac{4}{5}$ ，则 $\tan 2 x$ =.

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14、复数 $\frac{2 + i}{1 - 2 i} =$ ；对应的点坐标为；虚部是；模长为=.；共轭复数是.

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15、2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距 $7 m$ 的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图象，分别如曲线a，b所示. $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 分别是两个函数的极小值点.曲线a经过 $(0, r_{0}), (t_{1}, r_{1})$ 和 $(t_{2}, r_{0})$ ，曲线b经过 $(t_{2}, r_{2})$ .已知 $r_{1} t_{1} = r_{2} t_{2}, r_{1} = 4 m, t_{2} = 4 s$ ，并且从 $t = 0$ 时刻到 $t = t_{2}$ 时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（）

A、 $\frac{6}{7}, \frac{\sqrt{13}}{4} m / s$ B、 $\frac{6}{7}, \frac{\sqrt{13}}{2} m / s$ C、 $\frac{2}{7}, \frac{3 \sqrt{5}}{4} m / s$ D、 $\frac{2}{7}, \frac{3 \sqrt{5}}{2} m / s$

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16、十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若 $B E = C E = 3$ ， $∠ B E C = 120 °$ ，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{27}{2}$ B、 $\frac{27 \sqrt{3}}{2}$ C、27 D、 $27 \sqrt{3}$

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17、已知向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}| = 3$ ， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 0$ ，若 $\overset{⃑}{c} = λ \overset{⃑}{a} + (1 - λ) \overset{⃑}{b} (λ \in R)$ ，且 $\overset{⃑}{c} \cdot \overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{c} \cdot \overset{⃑}{b}$ ，则 $|\overset{⃑}{c}|$ 的最大值为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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18、函数 $f (x) = 2 \cos^{2} (ω x + φ) + b$ 的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（）

A、 $ω = \frac{π}{2}, b = 1$ B、 $ω = \frac{π}{2}, b = - 1$ C、 $ω = π, b = 1$ D、 $ω = π, b = - 1$

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19、下列命题中，真命题的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $0 < a < b < c$ ，则 $\log_{c} a < \log_{c} b$ D、若 $a + 2 b = 2$ ，则 $2^{a} + 4^{b} \geq 4$

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20、若 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, (\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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