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相关试卷

1、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是正方形，Q为PD的中点， $P A ⊥ A D$ ， $P A = A B = 2$ ，再从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $A C Q$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $B$ 到平面 $A C Q$ 的距离．
条件①：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
条件②： $P A ⊥ A B$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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2、已知圆 $C$ 过 $A (4, 1), B (0, 1), M (2, 3)$ 三点，直线 $l : y = x + 2$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、求圆 $C$ 关于直线 $l$ 对称的圆 $C^{'}$ 的方程；

(3)、若 $P$ 为直线 $l$ 上的动点， $Q$ 为圆 $C$ 上的动点， $O$ 为坐标原点，求 $| O P | + | P Q |$ 的最小值．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ，且 $P A = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 2$ ．

(1)、求直线 $P B$ 与直线 $C D$ 所成角的大小；

(2)、求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．

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4、已知圆 $C$ 的半径为2，圆心在 $x$ 轴的正半轴上，直线 $3 x + 4 y + 4 = 0$ 与圆 $C$ 相切.
（1）求圆 $C$ 的标准方程.
（2）求直线 $l$ ： $x - 2 y + 2 = 0$ 与圆 $C$ 相交的弦长.

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5、已知平面内两点 $A (8, - 6), B (2, 2)$ .
（1）求 $A B$ 的中垂线方程；
（2）求过点 $P (2, - 3)$ 且与直线 $A B$ 平行的直线 $l$ 的方程．

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6、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为棱 $C C_{1}$ （含端点）上的动点，给出下列四个结论：
①存在 $F$ ，使得 $B F ⊥ D E$ ；
②存在 $F$ ，使得 $B_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E D$ ；
③当 $F$ 为线段 $C C_{1}$ 中点时，三棱锥 $A_{1} - E F D$ 的体积最小；
④当 $F$ 与 $C_{1}$ 重合时，直线 $E F$ 与直线 $A_{1} D$ 所成角的余弦值最小.
其中所有正确结论的序号是．

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7、直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 和 $2 x + y - 6 = 0$ 与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为．

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8、已知平面 $α$ 过点 $O (0, 0, 0), A (2, 2, 0), B (0, 0, 2)$ 三点，直线 $l$ 与平面 $α$ 垂直，则直线 $l$ 的一个方向向量的坐标可以是．

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9、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + a = 0$ ，则圆心 $C$ 坐标为，当圆 $C$ 与 $y$ 轴相切时，实数 $a$ 的值为.

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10、已知 $A (1, 1)$ ， $B (2, 2)$ ， $C (0, n)$ 三点共线，则 $n =$ ．

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11、如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在 $y$ 轴右侧部分的边界为一个半圆. 已知直线 $l : y = a (x - 2)$ . 给出下列四个结论：
①当 $a = 0$ 时，若直线 $l$ 截黑色阴影区域所得两部分面积记为 $S_{1} ， S_{2} (S_{1} \geq S_{2})$ ，则 $S_{1} : S_{2} = 3 : 1$ ；
②当 $a = - \frac{4}{3}$ 时，直线 $l$ 与黑色阴影区域有 $1$ 个公共点；
③当 $a \in [- 1, 1]$ 时，直线 $l$ 与黑色阴影区域的边界曲线有 $2$ 个公共点．
其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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12、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ}$ ，则 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $3$ D、 $6$

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13、若 $\overset{⃑}{d} = (1, 1, - 2)$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\overset{⃑}{n} = (- 1, 3, 0)$ 是平面 $α$ 的法向量，则直线 $l$ 与平面 $α$ 的位置关系是（）

A、直线 $l$ 在平面 $α$ 内 B、平行 C、相交但不垂直 D、垂直

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14、圆 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 关于 $x$ 轴对称的圆的方程为（）

A、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ D、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$

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15、过点 $M (- 2, a)$ ， $N (a, 4)$ 的直线的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $| M N | =$ （）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{2}$

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16、已知两个向量 $\vec{a} = (1, - 1, 1), \vec{b} = (2, m, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $6$

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17、直线 $x + y - 1 = 0$ 的倾斜角的正切值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $2$

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18、如图所示，正方形 $A B C D$ 所在平面与梯形 $A B M N$ 所在平面垂直， $M B / / A N$ ， $N A = A B = 2$ ， $B M = 4$ ， $C N = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $M B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、在线段 $C M$ （不含端点）上是否存在一点E，使得二面角 $E - B N - M$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在求出的 $\frac{C E}{E M}$ 值，若不存在请说明理由．

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19、某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格 $φ (x)$ （单位：元）与时间第 $x$ 天的函数关系近似满足 $φ (x) = 10 + \frac{k}{x}$ ，（ $k > 0$ ），日销售量 $g (x)$ （单位：件）与时间第 $x$ 天的部分数据如下表所示：
$x$
10
15
20
25
30
$g (x)$
50
55
60
55
50
已知第10天的日销售收入为505元．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下三个函数模型：① $g (x) = a x + b$ ；② $g (x) = \frac{a}{x} - b$ ；③ $g (x) = a |x - m| + b$ ．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量 $g (x)$ 与时间第 $x$ 天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域；

(3)、设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为 $f (x)$ （单位：元），求 $f (x)$ 的最小值．

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20、下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 4)$ ，则 $f (2 x)$ 的定义域为 $(- 1, 2)$ B、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 和 $g (x) = x$ 表示同一个函数 C、函数 $y = 2 x - \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty, \frac{17}{8}]$ D、函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - 2 f (- x) = 2 x - 1$ ，则 $f (x) = \frac{2}{3} x + 1$

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$x$	10	15	20	25	30
$g (x)$	50	55	60	55	50